Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Цель: формирование умения разлагать элементарные функции в ряд Маклорена и применять данные разложения для вычисления приближённых значений выражений.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 42.1.Выучите определение ряда Маклорена для функции. Запомните, как в этом случае будет называться функция. Разберите пример и выясните, как найти конкретный член ряда Маклорена для функции.
?42.2. Ряд Маклорена для функции имеет вид:
. Найдите:
а) третий член ряда Маклорена для функции ;
б) четвёртый член ряда Маклорена для функции .
& 42.3. Проанализируйте, при каких условиях ряд Тейлора (Маклорена) будет сходиться к порождающей функции.Выясните, какова техника разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий разлагать функцию в ряд Маклорена на примере функции .
?42.4. Разложите функцию в ряд Маклорена.
& 42.5. Запомните известные разложения некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Выясните, какие преобразования известных разложений позволяют получать новые разложения функций в ряд. Внимательно изучите технику получения подобных разложений на примере функций и .
?42.6. Используя известное разложение в ряд Маклорена элементарных функций, представьте в виде ряда:
а) ; б) ; в) ; ¶г) ; ¶д) .
& 42.7. Выясните, как разложение функции в ряд Маклорена позволяет найти приближённое значение выражения.
?42.8. Используя известное разложение функции в ряд Маклорена, и ограничиваясь заданным числом первых членов ряда, найдите приближённое значение выражения:
а) (два первых члена ряда); б) (три первых члена ряда).
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Ряд для функции в точке =0 называется рядом Маклорена.
Если функция имеет в точке производные любого порядка, то для неё можно составить ряд Маклорена. При этом функция называется порождающей функцией для соответствующего ряда.
Пример 1. Найдите третий член ряда Маклорена для функции .
Решение. Третий член ряда Маклорена для функции имеет вид . Для его нахождения вычислим вторую производную функции в точке =0:
1) найдём : = ;
2) найдём : = ;
3) найдём : = .
Подставим в выражение , получим: . Таким образом, третий член ряда Маклорена для функции равен .
Ответ: .
Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме.
Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки ( =0) одним и тем же числом, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение ( = ).
Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена удобно использовать следующий алгоритм:
1) вычислить значения функции и всех её производных при =0;
2) составить ряд Маклорена для функции :
;
3) проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки =0 одним и тем же числом);
4) записать разложение функции в ряд Маклорена:
= .
Рассматривая разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, ограничимся рядами, которые чаще всего используются на практике.
Пример 2. Разложите функцию в ряд Маклорена.
Решение. Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом. 1) Найдём значения функции и последовательно её производных в точке =0:
1. : = ;
2. : , ;
3. : , ;
4. : , ;
5. Поскольку для функции , то .
2) Составим для функции ряд Маклорена, подставив найденные значения в формулу ряда Маклорена :
=
3) Проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного x найдём интервал , содержащий число x, и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем . Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности =0 ограничены одним и тем же числом М. Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.
4) Запишем разложение функции в ряд Маклорена: .
Ответ:
Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:
1)
2)
3) биномиальный ряд (бином Ньютона):
4)
5)
6)
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Рассмотрим примеры получения подобных разложений.
Пример 3. Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд функции :
Заменим в данном разложении на , получим:
Таким образом,
Ответ:
Пример 4. Разложите в ряд Маклорена функцию .
Решение. Функция представляет собой произведение на , поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции :
Заменим в этом разложении на , получим:
= ;
=
Умножим разложение на :
= ()
Таким образом, =
Ответ: =
Разложение функций в ряд Маклорена находит широкое практическое применение в вопросах приближённого вычисления значений функций.
Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью. Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд , и , то точное значение равно сумме этого ряда при , т.е. = , а приближённое – частичной сумме , т.е. = . Точность этого равенства увеличивается с ростом n.
Пример 5. Найдите приближённое значение выражения с точностью до 0,0001, используя известные разложения функций в ряд Маклорена.
Решение. Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена функции : Поскольку = , подставим в данное разложение вместо x 0,04, получим = = Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что , следовательно, достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: .
Ответ: .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.3, стр. 259 – 262.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 13, § 82, стр. 446-455, § 83, стр. 457 - 458.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 990 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!