Свойства операции откладывания вектора

Для всякой фиксированной точки A₀ Îe³ и произвольной точки B Îe³ отображение

(1)

является взаимно однозначным отображением точек B Îe³ на множество векторов .

(Аксиома треугольников). Для любых трех точек A,B,C Îe³ справедливо равенство

.

(Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки .

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус–вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M Îe³ называют координаты радиус–вектора (рис. 7), где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³ приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно однозначное соответствие между точками M Îe³ и арифметическими упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть = (u ₁, v ₁, w ₁) и = (u ₂, v ₂, w ₂) – направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u ₁, v ₁, w ₁) (u ₁, v ₁, w ₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)