Транспортной задачи

Пусть дан некоторый опорный план. Для каждой свободной клетки таблицы перевозок вычислим алгебраические суммы стоимостей в вершинах цикла D_ij. Так, для клетки (4,1) получим

D₄₁ = 6 – 5 + 4 – 3 + 1 – 2 = 1.

Если все D_ij неотрицательны (D_ij ³ 0), то задача решена, т.е. найден оптимальный план перевозок.

Допустим, есть хотя бы одно отрицательное значение D_ij, тогда среди отрицательных D_ij выбираем наименьшее и для этой клетки i₀, j₀ делаем сдвиг по циклу пересчета на величину q₀, равную наименьшей из перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Полученный новый опорный план будет лучше предыдущего, при этом целевая функция уменьшится на величину q₀ × .

Замечания:

1. Каждая сумма D_ij начинается с положительного числа и кончается отрицательным. Количество всех слагаемых четное.

2. Если опорный план вырожденный, то возможен сдвиг по циклу пересчета на величину q = 0. При этом значение целевой функции не изменится, а изменятся базисные клетки.

Найдем решение задачи, первоначальный опорный план которой получен методом северо-западного угла, и введем дополнительное условие: груз из пункта А₂ в пункт В₃ не может быть доставлен:

	В1	В2	В3	В4		Для всех свободных клеток вычислим Dij: D13 = 2 – 1 + 3 – 4 = 0, D14 = 5 – 1 + 2 – 1 + 3 – 4 = = 4, D21 = 6 – 5 + 4 – 1 = 4, D23 = М – 1 + 3 – 1 = = М + 1, D24 = 3 – 1 + 2 – 1 + 3 – 1 = = 5,
А1	- 5 20	+ 4 10	2	5
А2	6	1 70	М	3
А3	+ 2 q	- 3	1 40	8
А4	6	3	2 30	1 70

D₃₁ = 2 – 3 + 4 – 5 = -2, D₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,

D₄₁ = 6 – 5 + 4 – 3 + 1 – 2 = 1, D₄₂ = 3 – 3 + 1 – 2 = -1.

Поскольку не все D_ij ³ 0, план перевозок не оптимален. Среди D_ij < 0 выбираем наименьшее. Это D₃₁ = -2. Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (3,1) на величину q₀. Этот цикл проходит через базисные клетки (1,1), (1,2) и (3,2). В этом цикле две отрицательные клетки (1,1) и (3,2). Им соответствуют перевозки 20 и 10. В качестве q₀ выбираем меньшее из этих чисел, т.е. q₀ = 10. После сдвига по циклу пересчета на величину q₀ переходим к следующему опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Делаем второй шаг распределительного метода. Находим значения Dij для всех свободных клеток D13 = 2 – 5 + 2 – 1 = -2, D14 = 5 – 1 + 2 – 1 + 2 – 5 = = 2, D21 = 6 – 5 + 4 – 1 = 4, D23 = М – 1 + 4 – 5 + 2 - 1 = М – 1 >> 0,
А1	- 5 10	4 20	+ 2 q	5
А2	6	1 70	М	3
А3	+ 2 10	3	- 1 40	8
А4	6	3	2 30	1 70

D₂₄ = 3 – 1 + 4 – 5 + 2 – 1 + 2 – 1 = 3,

D₃₂ = 3 – 4 + 5 – 2 = 2,

D₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,

D₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3,

D₄₂ = 3 – 4 + 5 – 2 + 1 – 2 = 1.

f(х) = 10 × 5 + 20 × 4 + 70 × 1 + 10 × 2 + 40 × 1 + 30 × 2 + 70 × 1 = 390.

Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (1,3) на величину q₀ = 10. Переходим к новому опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Найдем Dij для этой таблицы D11 = 5 – 2 + 1 – 2 = 2, D14 = 5 – 2 + 2 – 1 = 4, D21 = 6 – 1 + 4 – 2 + 1 – 2 = 6, D23 = М – 2 + 4 – 1 = = М + 1, D24 = 3 – 1 + 4 – 2 + 2 – 1 = 5, D32 = 3 – 4 + 2 – 1 = 0, D34 = 8 – 1 + 2 – 1 = 8,
А1	5	- 4 20	+ 2 10	5
А2	6	1 70	М	3
А3	2 20	3	1 30	8
А4	6	+ 3 q	- 2 30	1 70

D₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3, D₄₂ = 3 – 4 + 2 – 2 = -1.

f(х) = 20 × 4 + 10 × 2 + 70 × 1 + 20 × 2 + 30 × 1 + 30 × 2 + 70 × 1 = 370.

Делаем сдвиг по циклу пересчета для свободной клетки (4,2) на величину q₀ = 20.

Переходим к новому опорному плану:

	В1	В2	В3	В4		Определим значения Dij D11 = 5 – 2 + 1 – 2 = 2, D12 = 4 – 2 + 2 – 3 = 1, D14 = 5 – 1 + 2 – 2 = 4, D21 = 6 – 1 + 3 – 2 + 1 – 2 = = 5, D23 = М – 1 + 3 – 2 = = М >> 0, D24 = 3 – 1 + 3 – 1 = 4, D32 = 3 – 3 + 2 – 1 = 1,
А1	5	4	2 30	5
А2	6	1 70	М	3
А3	2 20	3	1 30	8
А4	6	3 20	2 10	1 70

D₃₄ = 8 – 1 + 2 – 1 = 8, D₄₁ = 6 – 2 + 1 – 2 = 3.

f(х) = 30 × 2 + 70 × 1 + 20 × 2 + 30 × 1 + 20 × 3 + 10 × 2 + 70 × 1 = 350.

Для этого плана все D_ij > 0. Следовательно, этот опорный план оптимальный.

Для расчёта задач транспортного типа в среде Excel (рис. 73) необходимо ввести в таблицу тарифы на перевозку единицы груза по различным маршрутам (например, в ячейки B3:Е6), величину предложения поставщиков (например, в ячейки F3:F6) и величину спроса потребителей (например, в ячейки B7:Е7). Для размещения искомых значений переменных необходимо зарезервировать свободные ячейки (например, ячейки B9:Е12). Математические выражения для системы ограничений по спросу и предложению вводятся (например, в ячейки F9:F12 и B13:E13 соответственно) с помощью функции СУММ (рис. 74). Целевая функция вводятся (например, в ячейку F13) с помощью функции СУММПРОИЗВ из категории Математические (рис. 75). Для этого необходимо выбрать в меню Вставка строку Функция….

Рис. 73. Ввод исходных данных транспортной задачи в Excel

Рис. 74. Табличное представление транспортной задачи в Excel

Аргументами функции СУММПРОИЗВ являются: Массив1 - адреса матрицы тарифов перевозок, Массив2 – адреса пустых ячеек, зарезервированных под размещение искомых переменных задачи (плана перевозок).

Рис. 75. Ввод целевой функции транспортной задачи

Условия транспортной задачи вводятся в диалоговую форму надстройки Поиск решения, вызываемой из меню Сервис (рис. 76). В окно Установить целевую ячейку вводится адрес функции цели щелчком левой кнопки мышки по ячейке, содержащей математическое выражение для подсчёта общих затрат на перевозки. Направление поиска экстремума целевой функции устанавливается соответствующим минимальному значению. В окно Изменяя ячейки вводятся адреса искомых значений переменных (B9:Е12).

Рис. 76. Заполнение диалоговой формы Поиск решения

Ограничения задачи добавляются, изменяются и удаляются после нажатия соответствующей кнопки. В двух последних случаях предварительно необходимо выделить требуемую строку в окне Ограничения.

Рис. 77. Заполнение диалоговой формы Добавление ограничения

В левом окне формы Добавление ограничения (рис. 77) вводятся адреса левой части ограничений – суммы объёмов перевозок от поставщиков и суммы объёмов перевозок к потребителям. Знак ограничения устанавливается в виде знака равенства “ =“. В правом окне формы Добавление ограничения вводятся адреса правой части ограничений – числовые значения предложения и спроса.

Нажав кнопку Параметры, следует поставить «галки», выделив пункты: Линейная модель, Неотрицательные значения и Автоматическое масштабирование (рис. 78).

Рис. 78. Заполнение диалоговой формы Параметры

Оптимальный план перевозок представлен на рис. 79. Так, от первого поставщика третьему потребителю перевозится 30 единиц груза, от второго поставщика второму потребителю – 70 единиц груза. Третий поставщик обеспечивает поставки первому потребителю в объёме 20 единиц груза и третьему потребителю – 30 единиц груза. Поставки из четвёртого пункта отправления осуществляются по трём маршрутам: второму потребителю – 20 единиц груза, третьему потребителю – 10 единиц груза, третьему – 70 единиц груза. Общие затраты на перевозки составят 350 ден.ед.

Рис. 79. Результаты решения транспортной задачи

Метод потенциалов

Для решения транспортной задачи можно использовать метод потенциалов. Пусть задан опорный план задачи, тогда каждому пункту отправления А_i приписывается некоторое число U_i, а каждому пункту назначения В_j – число V_j. Эти числа называют потенциалами, они подбираются так, чтобы для каждой базисной клетки (i, j) выполнялось равенство

U_i + V_j = C_ij.

Таким образом, получаем m + n – 1 простых уравнений с m + n неизвестными U_i и V_j. В таком случае, когда система состоит из числа уравнений, меньшего, чем число неизвестных, появляется свободная неизвестная величина, которой мы можем придать любое значение. Все остальные неизвестные можно найти из системы уравнений.

После того, как будут найдены все потенциалы U_i и V_j, для каждой свободной клетки (i, j) определяют числа D_ij = C_ij– – (U_i + V_j). Далее поступаем так же, как и в распределительном методе: находим наибольшее по модулю отрицательное число (т.е. самое малое из отрицательных) и делаем сдвиг по соответствующему циклу пересчета. Таким образом, в методе потенциалов для нахождения чисел D_ij не нужно искать циклы пересчета для всех свободных клеток. Надо найти только один цикл пересчета, соответствующий наименьшему отрицательному .

Пример решения задачи методом потенциалов:

	V1 = 5	V2 = 4	V3 = 2	V4 = 1		Для занятых клеток U1 + V1 = 5, U1 + V2 = 4, U2 + V2 = 1, U3 + V2 = 3, U3 + V3 = 1, U4 + V3 = 2, U4 + V4 = 1.
U1 = 0	20 5	10 4	2	5
U2 = -3	6	70 1	1	3
U3 = -1	2 Q	10 3	401	8
U4 = 0	6	3	30 2	70 1

Положим U₁ = 0, тогда учитывая занятые клетки

V₁ = 5, V₂ = 4, U₂ = –3, U₃ = –1, V₃ = 2, U₄ = 0, V₄ = 1.

Подсчитаем D_ij для свободных клеток:

D₁₃ = 2 – (0 + 2) = 0, D₁₄ = 5 – (0 + 1) = 4,

D₂₁ = 6 – (–3 + 5) = 4, D₂₃ = 1 – (–3 + 2) = 2,

D₂₄ = 3 – (–3 + 1) = 5,

D₃₁ = 2 – (–1 + 5) = –2, D₃₄ = 8 – (–1 + 1) = 8,

D₄₁ = 6 – (0 + 5) = 1, D₄₂ = 3 – (0 + 4) = –1.

Поскольку среди значений D_ij есть отрицательные, то план перевозок не оптимален и необходимо, сделав сдвиг по циклу пересчета для клетки (3,1), перейти к новому плану.

	V1 = 5	V2 = 4	V3 = 4	V4 = 3		Для занятых клеток U1 + V1 = 5, U1 + V2 = 4, U2 + V2 = 1, U3 + V1 = 2, U3 + V3 = 1, U4 + V3 = 2, U4 + V4 = 1.
U1 = 0	10 5	20 4	Q2	5
U2 = -3	6	70 1	1	3
U3 = -3	10 2	3	401	8
U4 = -2	6	3	30 2	70 1

Положим U₁ = 0, тогда

V₁ = 5, V₂ = 4, U₂ = –3, U₃ = –3, V₃ = 4, U₄ = –2, V₄ = 3.

Подсчитаем D_ij для свободных клеток:

D₁₃ = 2 – (0 + 4) = –2, D₁₄ = 5 – (0 + 3) = 2,

D₂₁ = 6 – (– 3 + 5) = 4, D₂₃ = 1 – (–3 + 4) = 0,

D₂₄ = 3 – (–3 + 3) = 3,

D₃₂ = 3 – (–3 + 4) = 2, D₃₄ = 8 – (–3 + 3) = 8,

D₄₁ = 6 – (–2 + 5) = 3, D₄₂ = 3 – (–2 + 4) = 1.

Поскольку среди значений D_ij есть отрицательное, то план перевозок не оптимален и необходимо, сделав сдвиг по циклу пересчета для клетки (1,3), перейти к новому плану.

	V1 = 3	V2 = 4	V3 = 2	V4 = 1		Для занятых клеток U1 + V2 = 4, U1 + V3 = 2, U2 + V2 = 1, U3 + V1 = 2, U3 + V3 = 1, U4 + V3 = 2, U4 + V4 = 1.
U1 = 0	5	20 4	10 2	5
U2 = -3	6	70 1	1	3
U3 = -1	20 2	3	301	8
U4 = 0	6	Q 3	30 2	70 1

Положим U₁ = 0, тогда учитывая занятые клетки

V₂ = 4, V₃ = 2, U₂ = –3, U₃ = –1, V₁ = 3, U₄ = 0, V₄ = 1.

Подсчитаем D_ij для свободных клеток:

D₁₁ = 5 – (0 + 3) = 2, D₁₄ = 5 – (0 + 1) = 4,

D₂₁ = 6 – (– 3 + 3) = 6, D₂₃ = 1 – (–3 + 2) = 2,

D₂₄ = 3 – (–3 + 1) = 5,

D₃₂ = 3 – (–1 + 4) = 0, D₃₄ = 8 – (–1 + 1) = 8,

D₄₁ = 6 – (0 + 3) = 3, D₄₂ = 3 – (0 + 4) = –1.

Поскольку среди значений D_ij есть отрицательное, то план перевозок не оптимален и необходимо, сделав сдвиг по циклу пересчета для клетки (4,2), перейти к новому плану.

	V1 = 3	V2 = 4	V3 = 2	V4 = 1		Для занятых клеток U1 + V3 = 2, U2 + V2 = 1, U3 + V1 = 2, U3 + V3 = 1, U4 + V2 = 2, U4 + V3 = 2, U4 + V4 = 1.
U1 = 0	5	4	30 2	5
U2 = -3	6	70 1	1	3
U3 = -1	20 2	3	301	8
U4 = 0	6	20 3	10 2	70 1

Положим U₁ = 0, тогда учитывая занятые клетки

V₃ = 2, U₃ = –1, U₄ = 0, V₁ = 3, V₂ = 4, U₂ = –3, V₄ = 1.

Подсчитаем D_ij для свободных клеток:

D₁₁ = 5 – (0 + 3) = 2, D₁₂ = 4 – (0 + 4) = 0,

D₁₄ = 5 – (0 + 1) = 4,

D₂₁ = 6 – (– 3 + 3) = 6, D₂₃ = 1 – (–3 + 2) = 2,

D₂₄ = 3 – (–3 + 1) = 5,

D₃₂ = 3 – (–1 + 4) = 0, D₃₄ = 8 – (–1 + 1) = 8,

D₄₁ = 6 – (0 + 3) = 3.

Поскольку среди значений D_ij нет отрицательных, то найден оптимальный план перевозок.

f(х) = 30 × 2 + 70 × 1 + 20 × 2 + 30 × 1 + 20 × 3 + 10 × 2 + 70 × 1 = 350.

Решение транспортной задачи методом потенциалов, реализованным в ППП PRIMA показано на рис. 80 и 81.

Рис. 80. Заполнение диалоговой формы Транспортная задача

Рис. 81. Решение транспортной задачи в ППП PRIMA

Рис. 81. Продолжение

Этапы метода потенциалов:

1. Найти первоначальный опорный план. Число заполненных клеток равно m + n – 1.

2. Найти потенциалы U_i и V_j. Составить для базисных клеток m + n – 1 уравнений с m + n неизвестными.

3. Для каждой свободной клетки найти значения D_ij = C_ij –– (U_i + V_j). Если среди значений D_ij нет отрицательных, то полученный план транспортной задачи оптимальный. Если же такие имеются, то перейти к новому опорному плану.

4. Среди отрицательных D_ij выбрать наибольшее по модулю отрицательное число D_ij. Построить для этой свободной клетки цикл пересчета и произвести сдвиг по циклу пересчета.

5. Полученный опорный план проверить на оптимальность. Если он не оптимален, то перейти к п. 2.

Тема 6. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Любые промышленные предприятия для успешного функционирования и выполнения установленных заданий в срок должны иметь запасы различных видов сырья, материалов, топлива. Величина этих запасов в процессе производства не остается неизменной, а колеблется между максимальным и минимальным уровнем.

Необходимость поставок сырья и производственного оборудования, удовлетворения запросов потребителей и создания разумного резерва запасных частей ставит задачи, которые можно различать по характеру спроса. Спрос может быть: детерминированным (т.е. предсказуемым с определенной точностью); случайным, но статистически устойчивым; случайным, но статистически неустойчивым (сезонные колебания); неизвестным.

Экономическая функция, оптимум которой отыскивается для случайного спроса, часто определяется как математическое ожидание общих затрат.

Объём производственных запасов различных ресурсов зависит от действия многих факторов, воздействие которых имеет противоположную направленность. Одни факторы способствуют увеличению запасов, другие - напротив, их сокращению. Поэтому величина запасов может оказывать значительное влияние на технико-экономические показатели деятельности предприятия. Так, увеличение запасов сокращает транспортные затраты по поставке данного вида ресурса, но увеличивает затраты по его хранению, требует больших складских помещений, повышает потребность предприятия в оборотных средствах. Но, с другой стороны, увеличение запасов способствует более ритмичной работе предприятия, снижает вероятность срыва выполнения производственного задания из-за сбоев в функционировании материально-технической базы. Поэтому в каждой ситуации определяется оптимальная величина производственного запаса какого-либо ресурса, достижение которого обеспечивает наилучшие технико-экономические показатели деятельности предприятия.

В задачах управления запасами рассматривают следующие факторы:

1) спрос на определенную продукцию, который либо является случайной во времени величиной, либо известен и определен;

2) наличие запаса этой продукции для удовлетворения спроса, его пополнение и восстановление; пополнение может быть нерегулярным, периодическим или осуществляться через некоторые интервалы времени;

3) затраты на ассигнования, страхование, хранение, а также убытки из-за неудовлетворенного спроса образуют экономическую функцию, которую нужно оптимизировать;

4) ограничения, определяемые факторами, связанными с задачей запасов.

Основные понятия теории управления запасами включают.

Издержки выполнения заказа (организационные издержи) - накладные расходы, связанные с оформлением заказа и доставкой. В промышленном производстве такими издержками являются затраты на переналадку оборудования и подготовительные операции.

Издержки хранения - расходы, связанные с физическим содержанием товаров на складе, плюс возможные проценты на капитал, вложенный в запасы. Они могут возникать из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.д.). Обычно они выражены в абсолютных единицах или, в процентах от закупочной цены и связаны с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль (издержки дефицита) - издержки, связанные с неудовлетворенным спросом, возникающим из-за невозможности поставок вследствие отсутствия продукта на складе. Это может быть денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно (например, ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей).

Совокупные издержки за период представляют собой сумму издержек заказа, издержек хранения и упущенной прибыли. Иногда к ним прибавляются издержки на закупку товара.

Срок выполнения заказа - время с момента заказа до момента его выполнения.

Точка восстановления (точка заказа) - уровень запаса, при котором делается новый заказ.

Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.

Предположим, что интервал времени от заключения договора на пополнение до получения продукции равен нулю. В этом случае различают два основных метода простого уравнения запасами. Первый называется периодическим методом. Обозначим через Т период времени, в конце которого систематически производится пополнение запасов до максимально возможного уровня V_max. Тогда кривая изменения запаса имеет вид

Этот метод имеет недостаток, связанный с риском исчерпания запасов, что может повлечь за собой дорогостоящее управление, но его преимуществом является автоматизм.

Другой метод можно назвать релаксационным. Здесь количество вновь поступающей продукции постоянно, и равно разности между максимальным V_max и минимальным V_min уровнями запаса, но интервалы времени Т₁,Т₂,Т₃,…,Т_n не равны друг другу. В этом случае кривая изменения запаса имеет вид

В этой модели нет риска исчерпания запасов, управление более дешевое, но ее труднее автоматизировать.

Допустим, что задержка в пополнении (интервал времени между заключением договора и получением продукции) не зависит от объема получаемой продукции, т.е. постоянна и равна t. Метод управления запасами, при котором пополнение заказывается, когда запас достигает некоторой критической величины или уровня пополнения, называют «системой двух складов», или «S-s методом». Кривая изменения запаса для такого случая имеет вид

К затратам, связанным с организацией заказа и его реализацией, относятся расходы, производимые в связи с пополнением запасов начиная с поиска поставщика и оформления заказа и кончая оплатой всех услуг по доставке продукции на склад (расходы по размещению заказов, заключению договоров, расходы на связь, расходы по разъездам агентов снабжения, транспортные расходы, оплата стоимости погрузочно-разгрузочных операций и т.д.). Считается, что часть расходов, связанная с организацией заказов, зависит не от размера заказа, а от их количества за год.

Расходы по хранению запасов – сложный показатель, так как хранение запасов вызывает не только затраты, связанные с физическим присутствием продукции на складе, но и затраты вследствие вложения средств в запасы (организация хранения, устаревание, порча и др.).

Потери из-за дефицита имеют место в том случае, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за то, что не может удовлетворить потребительский спрос из-за отсутствия запасов.

Модель 1. Допустим, фирма должна поставлять своим клиентам S изделий равномерно в течение интервала времени Т. Следовательно, спрос детерминированный. Нехватка товаров не допускается, т.е. штраф при неудовлетворительном спросе бесконечно велик: С_Н ® ¥. Переменные затраты складываются из следующих элементов: С_Х – стоимость хранения одного изделия в единицу времени; С₃ – затраты, связанные с организацией заказа (стоимость заказа).

Необходимо решить, как часто нужно организовывать заказ партий на склад фирмы и каким должен быть размер каждой партии.

Если V – размер партии заказа, t₃ - интервал времени между заказами партий, а S – полный спрос за время Т, то – число партий за время Т и

t₃ = = . (6.1)

Если интервал t₃ начинается, когда на складе имеется V изделий и заканчивается при отсутствии изделий, то V/2 – средний запас в течение t₃, а затраты на хранение в интервале t₃ составят V/2 × C_X × t₃.

Полная стоимость Q_П создания запасов за время Т равна сумме стоимости хранения и стоимости заказа, умноженных на общее число партий за это время:

Q_П = ( t₃ + С₃) , (6.2)

подставляя выражение для t_Z, получая:

Q_П = ( × + С_Z) = + . (6.3)

С увеличение размера партий первое слагаемое этого выражения вырастает, а второе убывает. Суммируя эти зависимости, можно определить оптимальный размер партии заказа (рис. 82).

Рис. 82. Определение оптимального размера партии заказа

Решение задачи управления запасами состоит в определении такого оптимального размера партии заказа V₀, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей, т.е. нахождении экстремума функции общих ожидаемых расходов Q_П.

Продифференцируем последнее выражение по V, получим

= – . (6.4)

Если вторая производная положительна, то в точке перегиба функция имеет минимум, получим

= 2 > 0, следовательно, при V =V₀ имеем минимум функции.

Поскольку в точке экстремума первая производная должна быть равна нулю, то из условия = 0 найдем

V₀ = . (6.5)

Подставим это выражение в (6.1), получим оптимальное время между заказами

t₃₀ = = = . (6.6)

Точка восстановления запаса (точка заказа)

, (6.7)

где τ – время выполнения заказа.

Оптимальное число заказов (партий поставок) за период Т

N = S / V (6.8)

Подставим выражение (6.5) в (6.3), получим оптимальную (минимальную) величину затрат

Q₀ = + = × + = . (6.9)

Пример. Фирма должна поставлять своим заказчикам 58000 единиц продукции в год. Поскольку получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчики не имеют для нее специальных складов, фирма-поставщик должна ежедневно отгружать дневную норму. В случае нарушения поставок фирма-поставщик рискует потерять заказ, поэтому нехватка продукции недопустима и штраф за это можно считать бесконечно большим. Хранение единицы продукции в месяц стоит 3 ден.ед. Стоимость заказа одной партии продукции составляет 420 ден.ед.

Требуется определить оптимальный размер партии заказа V₀, оптимальный период времени между заказами t₃₀ и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Q₀.

В данном случае Т = 12 месяцев, S = 58000 единиц, C_X = 3 ден.ед./мес, C₃ = 420 ден.ед./партия. Время поставки заказа τ = 3 дн. (0,1 мес.). Подставим эти значения в выражения (6.5) - (6.9):

V₀ = = 1163 ед.,

t₃₀ = = 0,24 месяца ≈ 1 нед.,

Vтз = 58000 × 0,1 / 12 ≈ 483 ед., N = 58000 / 1163 ≈ 50,

Q₀ = = 41880 ден.ед./год.

Модель 2. Допустим, что превышение спроса над запасами допускается, т.е. штраф за нехватку продукции конечный. Z₀ – оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

Кривая изменения запасов будет иметь вид

В этом случае интервал времени t₃ может состоять из t_X – времени, когда запас есть, и t_H – времени отсутствия запасов. На складе фирмы–поставщика до получения следующей партии пополнения запасов t_X = , t_H = , где Z – уровень запаса к началу периода.

Средний запас в течение t_X равен , затраты на хранение за время t_X равны × C_X × t_X. Средняя нехватка за время t_H равна , а штраф за время t_H составляет × C_H × t_H.

Полные расходы за время Т равны сумме затрат на хранение, штрафа за нехватку и стоимости заказа

Q_П = ( × C_X × t_X + × C_H × t_H + С₃) × . (6.10)

Подставляя сюда значения t_X, t_H и t₃ = TV/S, получая

Q_П = . (6.11)

Из уравнения (6.11) можно найти оптимальные значения для V и Z:

V₀ = × ; (6.12)

Z₀ = × ; (6.13)

t₃₀ = × ; (6.14)

Q₀ = × . (6.15)

Пример. Пусть сохраняются все условия предыдущего примера, а штраф за нехватку C_H = 4 ден.ед. за одно изделие в месяц. Используя выражения (6.12) - (6.15), получим

V₀ = × = 1540 ед.,

Z₀ = × = 879 ед.,

t₃₀ = × = 0,317 месяцев ≈ 1 декада,

Q₀ = × = 31658 ден.ед.

Для автоматизации расчёта параметров модели управления запасами возможно использование программы «Управление запасами» из ППП PRIMA (рис. 83). Для этого необходимо ввести объёмы поставок и интервалы между поставками в столбцы таблицы Excel (рис. 84).

Рис. 83. Заполнение диалоговой формы Управление запасами

При заполнении диалоговой формы программы Управление запасами необходимо ввести длительность расчётного периода времени (1 год), расход ресурса за данный период (5300 тонн), диапазоны транспортно-заготовительных расходов, затрат на хранение продукции, потерь от дефицита.

Для расчёта страхового запаса необходимо ввести число месяцев поставок и с помощью мышки ввести адреса ячеек, содержащих объёмы поставок и интервалы поставок.

Результаты решения задачи представлены на рис. 84. График изменения запаса и величины страхового запаса представлен на рис. 85.

Рис. 84. Расчёт величины запасов в ППП PRIMA

Рис. 85. Графики изменения запаса и страхового запаса

Модель 3. Модель производственных поставок. Фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на складе и расходует с постоянным темпом. Если темп производства выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на складе. Когда количество продукта на складе достигает максимального значения, производство прекращается и продукт расходуется со склада с постоянным темпом. Когда запас на складе достигает точки восстановления, производство возобновляется. При этом оптимальным решением задачи будет такой размер заказа, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек на возобновление (запуск) производства.

Динамика изменения количества продукта на складе показана на рис.86, где tg α = l – m, tg β = m. Интенсивность производства (поставок) – l, интенсивность спроса – m = S / T.

Рис. 86. Модель производственных поставок

V₀ = × × ; (6.16)

Z₀ = × × ; (6.17)

t₃₀ = × × ; (6.18)

Q₀ = × × . (6.19)

Число партий поставок в течение периода Т:

N = S / Vo = m×T /Vo (6.20)

Продолжительность поставки:

τ = Vo /l (6.21)

Продолжительность цикла пополнения запаса:

t_3о = T / N = Vo /m (6.22)

Максимальный уровень запасов:

Zo = (l – m)τ (6.23)

Средний уровень запасов:

Zcp = Zo /2 (6.24)

Точка заказа (зависит от времени, необходимого для запуска производства t_п):

R = m × t_п (6.25)

Пример 1. Производственное оборудование позволяет изготавливать изделия с производительностью 3600 ед. в год. Заготовки для производства изделий изготавливаются на другом оборудовании с производительностью 12000 ед. в год. Оставшиеся необработанными заготовки образуют запас. Издержки хранения запаса составляют 0,5 ден.ед. за одну заготовку в год. Стоимость производственного цикла на оборудовании для производства заготовок равна 800 ден.ед. Определить оптимальный размер партии заготовок и периодичность поставок, учитывая, что дефицит недопустим (Сх/Сн ≈ 0).

заготовок

t₃₀= V₀/(S/T) = 4056,74/3600 = 1,127 года.

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой mp3-плееров составляет m=2000 шт. в год. Организационные издержки равны Cз=20 тыс. р. Издержки хранения равны Сх=0,1 тыс. р. в расчете на один mp3-плеер в год. Запасы на складе пополняются со скоростью l=4000 mp3-плееров в год. Производственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено Vo mp3-плееров.

Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение. Оптимальный размер поставки:

Максимальный уровень запасов:

= 633

Издержки:

= 63,25

Число партий в течение года:

N = 2000 / 1265» 1,6 поставки,

Продолжительность поставки:

t = 1265 / 4000» 115 дн.,

Продолжительность цикла:

t_3о = 365 / 1,6 = 1265 / 2000» 230 дн.

Средний уровень запасов:

Zcp = 317

Таким образом, за каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 mp3-плееров, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки - 115 дней, продолжительность цикла - 230 дней.

Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Основные понятия теории игр. При решении задач в области экономики и управления производством в условиях неполноты и неточности информации возможны ситуации, когда необходимо принятие решений в условиях риска и неопределенности.

Предметом изучения теории игр являются ситуации, когда отсутствует полнота информации, а аппарат теории игр предназначен для выбора оптимальных решений в условиях неопределенности. Методы теории игр разработаны применительно к специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников многократно повторяющегося конфликта. Под конфликтными ситуациями понимается положение, когда сталкиваются интересы двух и более сторон, причем выигрыш зависит от того, как поведут себя другие стороны. Математический анализ конфликта возможен при построении математической модели конфликта. Такая модель называется игрой. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам, которые участникам конфликта известны и строго выполняются. Игра называется парной, если в ней участвуют две стороны. Если в парной игре выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, то такая парная игра называется игрой с нулевой суммой. Конечной игрой называется игра с конечным числом стратегий. Стратегией называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Ходы бывают личные и случайные. При случайном ходе – выбор стратегии случайный. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает ему максимальный средний выигрыш или минимальный средний проигрыш.