ПЕРЕДМОВА. У сучасних умовах науково – технічного прогресу (НТП) вплив людини на навколишнє середовище набув глобальних масштабів

У сучасних умовах науково – технічного прогресу (НТП) вплив людини на навколишнє середовище набув глобальних масштабів, прирівняних до геологічних переворотів. Реальна загроза незворотних негативних наслідків антропогенного впливу на безпеку життя у зв¢язку з порушенням екологічної рівноваги планети висунула питання, пов¢язані з динамікою еколого-економічних систем, на передній план стратегії виживання людства.

Соціально-економічні процеси взаємодії людини з навколишнім середовищем настільки складні і масштабні, що сподіватися на їх стихійну адаптацію у сприятливому для людини напрямку нерозумно і небезпечно. Сучасна діяльність висуває задачу вивчити дію всієї сукупності факторів, які обумовлюють розвиток людства, з одного боку, та шляхів свідомого керування цим процесом, з іншого, на основі врахування примата екологічних інтересів. Сьогодні керування соціально-економічними і еколого-економічними системами стає однією з основних форм людської діяльності. Це вимагає уміння обліку і врахування великої кількості багаторівневих взаємодій, динамічного характеру розвитку систем у цілому та їх окремих елементів і підсистем. У цих умовах важливим інструментом аналізу стану довкілля виступають методи математичного моделювання.

РОЗДІЛ 1 ВСТУП ДО НАУКОВИХ ОСНОВ

ЕКОЛОГІЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Тема 1 Система як об¢єкт моделювання

1.1 Загальні положення

Успішний результат будь-якої справи залежить від досвіду її виконавців.

Існує декілька способів накопичення досвіду в процесі виробничої або організаційної діяльності. У найпростішому випадку при здійсненні заходів можна набути досвід шляхом серії спроб, для кожної з яких можливий лише один із двох результатів: успіх або невдача. З цією метою програма дій розділяється на кілька окремих елементів дій. Якщо при практичному виконанні деякі дії приводять до успіху, то в подальшому піддають випробуванням чергові дії з їх наміченого ряду. Коли після якоїсь дії виявляється невдача, тобто негативний результат, тоді намічений план переглядають і обирається нова послідовність дій для досягнення поставленої мети. Суть нагромадження досвіду зводиться до завдання щодо вибору такої послідовності дій, щоб кожне з них приводило до успіху, та в результаті їх здійснення була досягнута мета, тобто всі заходи було виконано з успіхом. Ця схема є типовим прикладом накопичення досвіду. Здійснюючи заходи, подібні до раніше виконаних, виконавець проходить шлях усього ланцюжка спроб вдруге значно швидше і більш якісно, ніж першого разу. Тому результат повторного виконання уже знайомих дій виявляється набагато якіснішим, а час їх виконання значно коротшим. Проте цей метод має багато недоліків. Перш за все, ланцюг послідовності елементарних дій при першому її здійсненні може виявитися занадто довгим, зайняти багато часу, вести до мети не зовсім прямим коротким шляхом. Крім того, невдачі, неминуче трапляючись у ході виконання цієї послідовності дій, можуть призвести до суттєвих матеріальних, моральних втрат (зокрема, втрати часу), ціна яких іноді багаторазово перевищує ціну досягнутого успіху. Набутий таким чином досвід надто дорогий, коли втрати методу не окуповуються успішним результатом. Отже, для уникнення цього логічно випливає, що накопичення досвіду методом спроб повинно здійснюватися не в реальних масштабах, а лише в подібних, схожих на дійсні, і не з фактичним досліджуваним об’єктом, а з його копією, замінником, імітатором. Таким чином, реальний процес накопичення досвіду може бути замінений імітацією цього процесу.

Імітація при цьому може мати різноманітний характер: від уявного оперування з об¢єктами на рівні мислення, здійснюваного лише в свідомості (наприклад, обдумування), до випробування технічних моделей, створених із якогось матеріалу, а також вивчення поведінки абстрактних математичних схем (систем), в якомусь сенсі аналогічних реальному (досліджуваному) об¢єкту. Імітація застосовується не лише для вироблення найбільш прийнятної послідовності дій, але й у процесі пізнання природи, її закономірностей, тобто у наукових дослідженнях. Модель, яка імітує досліджуваний об¢єкт і складена відповідно до певної наукової гіпотези, може бути засобом підтвердження правильності цієї гіпотези або для її спростування. Так, тисячоліття тому передові цивілізації давнини дотримувалися геліоцентричної моделі Сонячної системи (цьому навчали ще Конфуцій і Платон). У свій час Птоломеєм була побудована геліоцентрична модель, якої і дотримувалися до того часу, коли, спираючись на фактичні дані і виміри, Коперник не побудував геліоцентричну модель, якою й послуговується наука з того часу як моделлю системи небесних тіл.

Прагнення людини створити модель своєї домівки – Землі - губиться глибоко в сивій давнині. Такими моделями були плани земельних ділянок, географічні і топографічні карти місцевості, глобуси. Вони узагальнювали досвід, були штучною імітацією місцевості, допомагали найбільш раціонально використовувати посівні площі, здійснювати будівництво, прокладати маршрути, планувати бойові дії.

Особливого значення моделювання набуло з розвитком техніки. Оскільки створення машин вимагає, як правило, великих витрат, тому з метою забезпечення можливості вибору найбільш раціональної конструкції доцільно це здійснювати на більш дешевих фізичних моделях з імітуванням їх технічних параметрів, умов їх використання і функціонування.

Паралельно з розвитком фізичних моделей техніки і технології розвивалися теоретичні методи, які дозволяли ще до виготовлення виробу імітувати або прогнозувати техніко-економічні й інші параметри цього проекту. Ці методи використовували, як правило, математичний апарат і мали яскраво виражений кількісний характер. Практично в усіх технічних галузях з¢явилися свої спеціалізовані теоретичні моделі з загально-науковою основою. Та чисто теоретичний підхід до розв¢язання технічних проблем не є всеохоплюючим, універсальним, оскільки на практиці можливі випадки, коли виготовлення виробу не відповідає теоретичному розрахунку, або коли цей виріб у виробничих умовах поводить себе не так, як це очікувалося теоретично. Тому обов¢язковою вимогою є проведення випробування моделей в умовах, які щонайближче імітують реальні.

1.2 Моделювання в екології

Застосування методів моделювання в екології має ще більше значення, ніж у техніці, вже тому, що необхідно вирішувати завдання дуже складні, недостатньо вивчені, до того ж занадто високовартісні та дуже складно прогнозовані за своїми віддаленими наслідками. Із самого принципу екології випливає, що завдання наукових досліджень у галузі охорони довкілля, які виконуються за допомогою математичних методів, мають більш високий рівень складності і відповідальності за наслідки. Вони потребують більшого обсягу інформації, розвинутого методичного забезпечення, високої точності одержуваних результатів і високої вірогідності їх досягнення. Чим складніші проблеми наукового дослідження виникають в екології, тим більш досконалими повинні бути методи моделювання, тим вища їх роль і значення. У принципі будь-яку математичну модель можна назвати імітацією екологічного процесу. Проте цей термін є більш точним, якщо модель відтворює не тільки статистичний взаємозв¢язок між об¢єктами (елементами) системи, але й імітує розвиток самої системи в часі. Однією з переваг такої моделі є можливість враховувати вплив випадкових факторів (методами теорії ймовірності, методами теорії випадкових процесів, методами стохастичної імітації, які звичайно прийнято називати методами статистичного моделювання).

Об¢єкти моделювання взагалі визначаються таким чином. Якщо ж говорити про моделювання в екології, то необхідно конкретизувати об¢єкт реальної дійсності, модель якого створюється і визначається. У цілому можна сказати, що в усіх випадках основним об¢єктом дослідження за допомогою моделей буде екологічна система. Це поняття, в принципі, не нове. Проте використовуючи його, необхідно точно розуміти його зміст. Поняття системи давно використовується у різних галузях знань і відіграє важливу роль у формуванні і методології різних наук.

Системами є об¢єкти живої природи, економічні і виробничі відносини між людьми, частини нашого Всесвіту (макросвіт) і того мікросвіту, який створює основу будь-якої речовини. Системами називають сукупності спеціальних символів, які складають математичний опис різних процесів і явищ, реально існуючих у природі. Системами є всі створені людиною механізми, пристрої, технології.

Всі реально існуючі в природі системи, побудовані шляхом абстрактного мислення, володіють визначеною сукупністю характерних особливостей, наявність яких дає можливість об¢єднувати ці поняття, різні за своїм конкретним вираженням, у загальне збірне поняття системи.

Зокрема, в біології конкретизується поняття системи як організму в цілому або його частини (нервової системи, обміну речовин і т.п.). У математиці – це системи рівнянь, системи операцій, системи позначень і т.д. В екології – екосистема, її компоненти і т.д.

Зауважимо, що слово "комплекс" означає сукупність предметів або явищ, які складають одне ціле. У той же час "система" визначається як " множина елементів із відношеннями і зв¢язками між ними, що створює визначену цілісність". При цьому береться до уваги той факт, що система як упорядкована цілісна множина взаємопов¢язаних елементів, які володіють структурою і організацією, "у своїй взаємодії із середовищем демонструє відповідну поведінку", визначену як впливом середовища, так і "власними цілями, що мають на увазі перетворення середовища, підпорядкування його своїм потребам" та що ефект функціонування системи в цілому може відрізнятися від сумарного ефекту її складових частин.

1.3 Характерні властивості систем

Звертаючись до розгляду екологічних систем, слід зупинитися на їх характерних особливостях, які властиві всім цим екосистемам. Перш за все – це наявність структури.

Структура системи – це сукупність її складових частин, блоків, вузлів, ланцюгів, елементів.

Відміна системи від простої упорядкованої сукупності непов¢язаних елементів полягає в наявності зв¢язків між її складовими. Причому кожен із цих зв¢язків має визначене функціональне значення і характеризується напрямком цієї функції. Визначення структури для кожної системи є поняття відносне – одну й ту ж систему можна розглядати як таку, що складається з більш великих або більш малих блоків та ланцюгів. Це залежить від мети і необхідності розглядати більш великі чи малі частини системи.

Будь-яка система якоюсь мірою зазнає впливу зовнішнього середовища. У свою чергу вона сама може здійснювати на це середовище деякий вплив. Тому іноді вивчення системи доцільно розповсюдити і на деяку частину її середовища. Іноді, навпаки, слід виключити із складу системи деякі об¢єкти і віднести їх до зовнішнього середовища. Все це і залежить від постановки завдання.

В усіх випадках систему можна характеризувати кількісно в кожний момент часу. При цьому число її кількісних характеристик у свою чергу є кількісною характеристикою цієї системи.

Розвиток у часі, зміна кількісних характеристик – це невід¢ємна особливість будь-якої системи.

Характеристики екосистем розвиваються в загальному випадку у взаємній залежності від впливу зовнішнього середовища. Чисто умовно зовнішні характеристики можна поділити на два види: ті, що швидко змінюються в часі, і ті, що змінюються повільно. Тому швидкоплинні прийнято називати в моделюванні тимчасовими (миттєвими) характеристиками, а повільно змінювані – параметрами системи.

Оскільки у функціонуванні реальної екосистеми неминуче беруть участь випадкові фактори, які перетворюють процеси зміни миттєвих характеристик у випадкові процеси, то всі реально існуючі системи мають імовірний характер. У тих випадках коли випадкові коливання характеристик дуже незначні, їх можна не враховувати. Тоді система вважається за детерміновану. Тобто такою, яка не зазнає впливу дій імовірного характеру. Інакше – система ймовірна.

Таким чином, будь-яка система може характеризуватися такими особливостями: структурою, наявністю зв¢язків між її складовими, залежністю від зовнішнього середовища, впливом на зовнішнє середовище, наявністю кількісних характеристик, які визначають стан системи в кожен момент часу, зміною стану системи з часом, участю деяких імовірних факторів у функціонуванні системи.

Тому на практиці під системою ми будемо розуміти поняття, для якого характерні зазначені особливості.

1.4 Взаємодія елементів системи

Під взаємодією елементів системи розуміють режим (процес) спільного функціонування елементів, при якому поведінка (або властивості одного елемента) в загальному випадку залежать від умов, визначених поведінкою або властивостями інших елементів цієї системи.

Взаємодія виступає як результат впливу, який здійснюють елементи системи один на одного.

Так, якщо розглядати систему (S), яка складається з елементів (С₁;С₂;С₃;…,С_N), то вплив одного елемента (С_і) цієї системи на інший елемент (С_J) цієї ж системи визначається вхідними сигналами (Х), які надходять від елемента (С_i) до елемента (С_J).

Вихідний сигнал (У) елемента (С_j), сформований з урахуванням цього елемента, трансформується взагалі при передачі його реальним каналом зв'язку і надходить до елемента (С_J) вже як вхідний сигнал, що викликає зміни у поведінці цього елемента.

При формуванні формалізованого опису взаємодії елементів системи звичайно дотримуються припущення, що ця взаємодія достатньо повно та точно описує в рамках механізму обміну сигналами. Тому для формального опису взаємодії між елементами (С_j) та (С_J) системи (S) достатньо мати наступні 4 базові моделі:

- формування вихідного сигналу (У) дії елемента (С_j) системи;

- сполучення елементів мережею каналів зв'язків, які забезпечують передачу дії (сигналу) між елементами;

- трансформація сигналу в процесі проходження його через реальний канал зв'язку;

- прийом вхідного (Х) сигналу та поведінка елемента (С_J), який прийняв його, в результаті впливу дії цього сигналу.

Доцільно зазначити, що аналогічний підхід доречний також і для випадку взаємодії системи з зовнішнім середовищем. При цьому об'єкт зовнішньої системи, який впливає на один або декілька елементів досліджуваної системи, повинен бути описаний у крайньому випадку моделлю формування цього вихідного сигналу. У свою чергу, об'єкт зовнішнього середовища, який сприймає сигнал від елементів системи, також повинен бути описаний у крайньому випадку моделлю прийому вхідного сигналу.

При цьому вивчення моделей трансформації і сполучення можна виконувати спільно для досліджуваної системи і зовнішнього середовища.

1.5 Динамічна система

Усі явища і процеси матеріального світу ми звикли розглядати у просторі і часі.

У найпростішому випадку механічного руху мова про переміщення, яке інтерпретується як зміна положення тіла за деякий проміжок часу. Незважаючи на істотність цього міркування, воно вже має в собі риси формалізації процесу. В кожен момент часу (t_і) у певний проміжок {Т} тіло знаходиться саме в цілком визначеному положенні (Z_і) із деякої множини {Z} можливих. Це положення описується його координатами у просторі. Отже, якщо мова йде про рух тіла по деякій прямій, то Z – відстань від початку відліку. Якщо розглядати рух тіла на площині, то Z – вектор з координатами (Zx; Zy) у прямокутній системі координат. Якщо рух тіла відбувається в тривимірному просторі, то Z – вектор із координатами (Zx; Zy; Zz) і т.д.

Таким чином, переміщення – це перехід тіла з одного положення (Z_t1) в інше (Z_t2) за проміжок часу (t=t₁ – t₂), що складає час цього переходу. У механіці переміщення відбувається під дією сил і має динамічний характер (dynamis – сила). Ця концепція в основних своїх рисах правильна і за межами механіки, тому має широке розповсюдження.

В екології замість "положення" прийнято говорити "стан", тобто Z_t – це стан екосистеми в момент (t). При цьому цей стан може характеризуватися досить великою кількістю так званих "координат" системи: Zt(Z₁, Z₂, Z₃,…,Zn). Більше того, замість "переміщення" вживається поняття зміни стану (руху) із (Z_t1) до (Z_t2). Воно характеризується відображенням стану Z(t) множини (Т) в множину (Z), де Z – це множина стану системи, а Т – множина моментів часу.

Сукупність стану Z(t) Î Z, що відповідає в перебігу ходу даного руху Z(t) усім значенням t Î Т, називається траєкторією руху. У такому розумінні рух системи охоплює різні форми руху матерії.

Рух у загальному випадку відбувається внаслідок причин більш загальних, ніж сила. Тому в сучасній інтерпретації "динамічний" означає "причинний". Таким чином, під динамічною системою (в широкому смислі) розуміють об'єкт, який знаходиться в кожен момент (t) часу (із множини Т) в одному із можливих станів Zt (із множини Z) і який може переходити (з часом) із одного стану в інший під дією зовнішніх і внутрішніх причин, здійснюючи при цьому рух Z(t).

Щоб врахувати зовнішні причини, необхідно розглянути взаємодію динамічної системи із зовнішнім середовищем. Ця взаємодія здійснюється шляхом дії зовнішнього середовища на динамічну систему, з одного боку, і дії динамічної системи на зовнішнє середовище - з іншого. Такого роду дії в теорії аналізу систем називають сигналами, а сам процес взаємодії системи із середовищем розглядається в межах механізму обміну сигналами. Отже, сигнал (Х), який надходить із зовнішнього середовища в досліджувану систему в момент (t) називають вхідним сигналом (Хt). Він характеризується координатами (Х₁, Х₂, Х₃, …, Хі, …, Хn) і є елементом множини {X} вхідних сигналів.

Аналогічно, вихідний сигнал (Уt), який надходить із системи в зовнішнє середовище в момент (t), описується координатами (У₁, У₂, У₃, …, Уn) і є елементом множини {У} вихідних сигналів системи.

Динамічна система як математичний об'єкт містить у своєму описі наступні механізми:

- механізм зміни стану під впливом дії внутрішніх причин (без втручання зовнішнього середовища);

- механізм прийому вхідного сигналу і зміни свого стану під дією цього сигналу;

- механізм формування вихідного сигналу як реакції системи на внутрішні і зовнішні причини зміни свого стану.

Звичайно ці механізми описують так званими операторами (особливо в теоретичних дослідженнях):

- оператор переходу (Н) системи в новий стан;

- оператор виходу (G) системи із попереднього стану.

Ці оператори реалізують відображення стану системи:

Н: Т*Z*X→Z;

G: Т*Z*Х→У.

Проте такі завдання системи виявляються надто загальними (формальними) і недостатньо визначеними. Для формального опису елементів системи доцільно використати математичну схему динамічної системи в широкому смислі, у т.ч. стохастичної, яка враховує дію випадкових факторів за допомогою математичного апарату теорії випадкових процесів, зокрема, класу випадкових процесів із дискретним втручанням випадку.

1.6 Екологічна система

Під екологічною системою треба розуміти систему, конкретний зміст якої пов'язаний із відношеннями в галузі екології, тобто відношеннями живих організмів з їх середовищем перебування і, зокрема, в галузі взаємовідносин людини і довкілля. Такі екосистеми мають специфічні особливості, які обумовлюють їх властивості. Тому ставлячи перед собою завдання дати будь-який загальний виклад практичних прийомів побудови моделей екологічних систем, необхідно зазначити їх особливості, які багато в чому полегшують виконання цього завдання.

Так, екосистеми охоплюють своїми взаємозв'язками не лише природне середовище, але й соціальну та всі виробничі й інші галузі народного господарства. Тому об'єктами екосистем можуть бути будь-які елементи природного середовища, промисловості, транспорту, сільського господарства, адміністративного управління, культури, науки і т.п.

Якщо розглядати окремо будь-який елемент екосистеми, то неважко побачити певну особливість у його функціонуванні – зміна характеристик цього елемента веде до зміни характеристик усієї системи і в результаті цього до зміни її впливу на зовнішнє оточуюче середовище. У свою чергу зміни зовнішнього середовища викликають зміни в екосистемі її внутрішнього стану.

Для того щоб задати систему, необхідно (і достатньо) здійснити (виконати) опис усіх її елементів і опис всіх її зв'язків взаємодії між цими елементами. Оскільки характер функціонування системи залежить від умов оточуючого середовища, то одним із основних завдань дослідження є саме вивчення взаємозв'язків цієї системи з зовнішнім середовищем (крім випадків так званих автономних систем, які не залежать від оточуючого середовища). Для простоти математичного опису зручно зовнішнє середовище зобразити у вигляді сукупності елементів (за аналогією елементів самої екосистеми) лише з тією різницею, що цілісної моделі поведінки цих елементів створювати не має потреби. Тому досить задати її лише в тій її частині, яка належить до формування відповідних дії (впливу) цього середовища на елементи екосистеми.

Використання уніфікованого математичного опису для елементів системи і об'єктів зовнішнього середовища, а також для взаємодії елементів системи між собою і з оточуючим середовищем допомагає спрощенню моделей. Крім цього, з'являються умови для створення єдиних прийомів і засобів дослідження екосистеми. Тому на перший план висувається потреба в розробці уніфікованих моделей і типових математичних схем первинної формалізації об'єктів екосфери, які становлять елементи складних екосистем.

1.7 Системний аналіз екосистем

Розгляд досліджуваного об'єкта матеріального світу як системи, що складається із взаємодіючих елементів, побудова математичної моделі для нього і дослідження його властивостей методом моделювання складає сутність системного підходу.

Системний підхід має вирішальне значення в дослідженні операцій, системотехніці, у сфері проектування, створення автоматизованих систем управління (у т.ч. в природоохоронній діяльності), у кібернетиці, фізіології, біології (особливо молекулярній), хімії, економіці (особливо її математичній частині), в багатьох інших науках. Широке застосування системний підхід знайшов в екології та в управлінні природокористуванням.

Сукупність методів і прийомів дослідження, які входять до арсеналу цього самостійного наукового напрямку, складають предмет системного аналізу.

Системний аналіз є методологічною базою моделювання систем. Він становить загальний раціональний підхід до вирішення складних еколого-економічних та інших проблем. Він забезпечує вибір бажаного шляху розвитку серед множини можливих альтернатив на основі комплексного вивчення структури системи, мети розвитку, умов розвитку і т.д. Він передбачає створення математичної моделі системи, що вивчається, визначення набору її цілей, керуючих дій і впливів, аналіз наслідків можливих рішень, оцінку чутливості результатів до змін припущень моделей і т.д.

Природні, економічні, а тим більш еколого-економічні системи включають у себе різноманітні процеси (біологічні, фізичні, хімічні, механічні, соціальні, економічні і т.д.).

Жорстко підходячи до моделювання екосистем, необхідно включати в модель всі її елементи без винятку – тільки в такому випадку можна сподіватися врахувати всі можливі реакції системи на зовнішній вплив. Оскільки це надзвичайно складно, а іноді й зовсім неможливо, то застосовують різні прийоми і способи для зниження кількості елементів та спрощення системи.

Одним із резервів соціально-економічного розвитку суспільства є комплексний підхід до розв'язання задач управління природокористуванням з використанням принципів системного аналізу. Реалізація цього підходу в межах досліджуваної проблеми вимагає програмованості і обліку ієрархічності та багатозначності зв'язків.

Виходячи з основних принципів системного аналізу, його застосування в сфері управління природокористуванням найбільш доцільне при розв'язанні комплексних проблем політики, стратегії та тактики управління, а також при вивченні еколого-економічних процесів суспільного розвитку, рівня забруднення довкілля, якості життєвого середовища і т.п.

Системний аналіз включає послідовність наступних етапів: вивчення існуючої ситуації; визначення проблем, які необхідно вирішувати; визначення загальної мети системи в цілому та її елементів окремо; порівняння різних альтернативних шляхів досягнення поставленої мети; пошук та вибір оптимального шляху на базі науково розроблених критеріїв оцінки ефективності; побудова моделей залежності між елементами системи; дослідження кількісних і якісних відношень, її функціональних характеристик, ступеня взаємних дій і наслідків; постановка завдань щодо вдосконалення системи; визначення кількісних і якісних показників ефективності діяльності системи; прийняття управлінського рішення.

1.8 Екологічний аналіз екосистем

Системний підхід широко використовується не лише в галузі природокористування, але й в екології. Наприклад, в питаннях екологічного аналізу екосистем та охорони довкілля.

Екологічний аналіз екосистем складається з послідовного виконання наступних етапів:

- аналіз досліджуваної природної компоненти (об'єкт середовища) як фізичного тіла (тобто фізико-хімічні та інші його параметри);

- аналіз даної компоненти як екологічної складової (роль та участь у забезпеченні життя);

- аналіз компоненти як структурного елемента природної екосистеми (роль та участь у природних кругообігах);

- аналіз компоненти як джерела природних ресурсів (речовин, хімічних елементів, матеріалів, енергії, сил і т.п.);

- аналіз внутрішніх міжелементних взаємозв'язків;

- аналіз зовнішніх взаємозв'язків (вхідні та вихідні сигнали);

- основні (головні) висновки за результатами екологічного аналізу досліджуваної компоненти (об'єкта, середовища).

Тема 2 Критеріальні принципи моделюваннЯ

ЕКОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ

2.1 Загальні положення

Введемо деякі основні поняття.

Модель – це:

- фізична (речовинно-натуральна) або знакова (математична, логічна) подібність реального об'єкта (звичайно спрощеного), явища, процесу, системи;

- зменшена подібність реального об'єкта (діюча модель або тільки імітуюча форму (макет) об'єкта);

- схема, зображення або опис деякого явища, процесу в природі чи суспільстві.

Моделювання – це метод дослідження складних об'єктів (явищ, процесів) шляхом їх спрощеного імітування (натурального, математичного, логічного), що базується на теорії подібності. Отже, модель – це математично реалізована або розумово уявлена система, яка відображає або відтворює досліджуваний об'єкт та яка може замінити його так, що її вивчення дасть нам можливість одержати інформацію про цей об'єкт.

Призначення моделі може бути різним, оскільки моделі використовуються з різною метою:

- у випадку неможливості безпосереднього дослідження процесу внаслідок відсутності теорії цього процесу для одержання даних про нього, накопичення інформації та прогнозу поведінки цього об'єкта;

- при удосконаленні наукової теорії для уточнення поведінки та кількісних співвідношень досліджуваного об'єкта на основі кількісних даних;

- при утрудненні застосування теорії з метою одержання характеристик об'єкта дослідження;

- при використанні як проміжного ланцюга між теорією і практикою;

- при встановленні зв'язків між різними теоріями;

- при перевірці теорії;

- при утрудненні безпосереднього проведення досліду на об'єкті;

- при дослідженні об'єктів, недоступних безпосередньому спостереженню;

- з метою економії коштів, часу і т.п.

Функції моделей зводяться до наступних: описувальна, вимірювальна, пояснювальна, інтерпретаторська, провіщувальна (прогнозна), критеріальна.

До моделей ставлять головну вимогу: будь-яка модель повинна бути подібна в основних рисах оригіналу, і в той же час відмінна від нього, тобто не мати тих його характеристик, які заважають його вивченню за допомогою цієї моделі.