Д) Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.

(47.25)

Гиперболический параболоид имеет вид «седла», и его общий вид показан на рис. 47.13. Его также можно представить следующим образом: пусть имеются две параболы во взаимно перпендикулярных плоскостях; ветви одной из них (неподвижной) направлены вверх, а ветви другой (подвижной) параболы – вниз. Будем двигать вторую параболу по первой так, чтобы её вершина (подвижной параболы) всегда находилась бы на неподвижной параболе. Тогда поверхность, которая будет образовываться при движении параболы, и будет гиперболическим параболоидом.

Рис. 47.13 Рис.47.14

В сечении гиперболического параболоида плоскостями могут быть:

- парабола (для поверхности, заданной уравнением (47.25),парабола получится в случае, если секущая плоскость параллельна оси аппликат OZ или проходит через неё, ибо, как видно из рис. 47.14 (на этом рисунке гиперболический параболоид и все секущие плоскости представлены как вид «сбоку»), в сечении поверхности такой плоскостью

должна получиться некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола);

- гипербола (из рис. 47.14 читателю предлагается самостоятельно установить, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью гипербола должна быть разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола);

- две пересекающихся прямые линии (получается, например, в сечении гиперболического параболоида, заданного уравнением (47.25), координатной плоскостью (z=0); читателю предлагается самостоятельно проверить, что при подстановке в уравнение (47.25) значения z=0 получится уравнение пересекающихся прямых линий).

Остальные линии в сечении гиперболического параболоида плоскостями (в том числе одну точку и пустое множество) получить нельзя.

Как и гиперболоиды, оба параболоида(эллиптический и гиперболический) – совсем разные поверхности, которые нельзя получить друг из друга никаким линейным преобразованием координат. Это вытекает, например, из того, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью (некоторой) можно получить две пересекающихся прямых линии, что нельзя сделать для эллиптического параболоида