Метод множників Лагранжа

Нехай задано задачу нелінійного програмування

при обмеженнях

.

Припустимо, що функції і є неперервними разом із своїми частинними похідними.

Обмеження задано у вигляді рівностей, тому для розв’язку задачі використаємо метод відшукування умовного екстремуму функції багатьох змінних.

Для розв’язування задачі складається функція Лагранжа

де - множники Лагранжа.

За необхідною умовою існування екстремуму функції, знайдемо частинні похідні

прирівняємо частинні похідні до нуля і одержимо систему

Розв’язком системи є множина точок, у яких цільова функція може мати екстремальне значення. Необхідно відмітити, що умови розглянутої системи є необхідними, але не недостатніми. Тому не кожний одержаний розв’язок визначає точку екстремуму цільової функції. Застосування методу буває виправданим, коли заздалегідь припускається існування глобального екстремуму, який співпадає з єдиним локальним максимумом або мінімумом цільової функції.