Задача 6.3

Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, и доли мужчин, вступающих в повторный брак, была произведена 5-% выборка, результаты которой приведены в табл. 6.1:

Табл. 6.1

Социальная группа	Число мужчин, чел. (f)	Средний возраст, лет ()	Среднее квадратическое отклонение, лет ()
Рабочие
Служащие

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак.

Решение. В данной задаче для определения пределов среднего возраста мужчин, вступающих в брак, необходимо найти предельную ошибку выборочной средней.

Определим, какие показатели у нас имеются в условии:

· Вес каждой группы – f – 60 и 40 человек;

· Общий объем выборки n = 100;

· коэффициент доверия t = 2;

· внутригрупповые средние - - равные 24 и 27 годам;

· внутригрупповые средние квадратические отклонения - - равные 5 и 8 годам соответственно.

Так как объем выборки не превышает 5 %, среднюю ошибку выборочной средней следует рассчитывать по формуле (6.1):

(6.1)

Но в данной задаче имеется дополнительная сложность – в условии приводится не общая дисперсия признака (), а средние квадратические отклонения по каждой группе (). Для определения общей дисперсии следует воспользоваться правилом сложения дисперсий, изложенным в главе 3. Тогда общая дисперсия признака будет равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

. (3.27)

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется как средняя арифметическая взвешенная (формула 3.25), и для ее расчета необходимо воспользоваться данными из табл. 6.1:

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле (3.26):

. (3.26)

Для расчета данного показателя необходимо предварительно рассчитать средний возраст по всей совокупности как среднюю арифметическую взвешенную. Для нашего примера:

года.

Тогда межгрупповая дисперсия равна:

Общая дисперсия, рассчитанная по формуле (3.27), равна:

Тогда, средняя ошибка среднего возраста вступающих в брак, согласно формуле (6.1):

года.

Предельная ошибка в данном случае составит, согласно формуле (6.7):

года.

Пределы, в которых заключен средний возраст вступающих в брак по всей генеральной совокупности, определим, исходя из равенства (6.9):

.

Следовательно, в генеральной совокупности средний возраст вступающих в брак будет не ниже 23,9 года и не превысит 26,5 лет. Такая закономерность будет наблюдаться в 954 случаях из 1000.