Геометрическая, энергетическая и механическая сущность уравнения Бернулли

Всем членам уравнения Бернулли можно дать объяснение с геометрической, гидравлической и физической точек зрения. Для более наглядного представления на рисунке 2.6изобразим члены уравнения Бернулли для элементарной струйки графически. Возьмем элементарную струйку с осью S - S и проведем два сечения: 1 - 1 и 2 - 2. Если в сечениях 1 - 1 и 2 - 2вставить пьезометрические трубки (пьезометры), то по ним жидкость поднимется над центрами тяжести сечений: в первом сечении на высоту и во втором сечении на высоту Высоты и называются пьезометрическими. Как уже ранее говорилось, при помощи пьезометров можно определить гидродинамическое давление в месте присоединения трубки. Гидродинамическое давление будет равно произведению объемного веса жидкости на пьезометрическую высоту .

Если же в элементарную струйку в сечениях 1 - 1и 2 - 2вставить так называемые скоростные трубки с загнутыми концами, направленными против течения, то жидкость в этих трубках поднимется над центрами тяжести тех же сечений: в первом сечении на высоту

во втором сечении на высоту

Почему жидкость дополнительно поднимется именно на высоту можно наиболее просто доказать так. Частицы жидкости с высоты h по закону Торичелли будут падать со скоростью свободного падения равной ,откуда высота

Таким образом, в скоростных трубках с загнутыми концами жидкость поднялась на дополнительную высоту в сечений 1 - 1, равную в сечении 2 - 2на высоту, равную . Поднятие жидкости на дополнительную высоту в скоростных трубках произошло потому, что движущиеся частицы жидкости, набегая на входные концы трубок со скоростью и , производят дополнительное давление на неподвижную жидкость в скоростных трубках, для уравновешивания которого жидкость в трубках должна подняться на такую дополнительную высоту, при которой вес столбиков жидкости будет равен указанному дополнительному давлению. Высоты, равные или , называются скоростными напорами, или скоростными высотами.

Итак, с геометрической точки зрения члены уравнения Бернулли мы можем именовать:

и - скоростные напоры (высоты), на которые поднялась жидкость в скоростных трубках в соответствующих сечениях;

и - пьезометрические высоты соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2;

z₁ и z₂ - геометрические высоты центров тяжести сечений элементарной струйки над плоскостью сравнения 0 - 0соответственно в сечениях 1 - 1и 2 - 2.

Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность. Скоростной напор

Пьезометрическая высота

Геометрическая, или геодезическая, высота z₁центра тяжести живого сечения элементарной струйки над плоскостью сравнения имеет также линейную размерность.

Энергетическая (физическая) сущность уравнения Бернулли состоит в том, что оно выражает закон сохранения энергии элементарной струйки

Левая часть уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию элементарной струйки в сечении 1 - 1, которая равна полной удельной энергии элементарной струйки в сечении 2 - 2и является величиной постоянной (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6

Удельной энергией называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости. Рассмотрим, что представляют собою все члены уравнения Бернулли с физической или с энергетической точки зрения:

и - удельная кинетическая энергия (энергия движе­ния) элементарной струйки соответственно в сечениях 1 - 1и 2 - 2;

- удельная потенциальная энергия элементарной струйки соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2;

и - удельная потенциальная энергия давления в соответствующих сечениях; ее величина зависит от высоты столба жидкости в пьезометре, который находится над центром тяжести рассматриваемого сечения струйки;

и - удельная потенциальная энергия положения; ее величина зависит от положения центра тяжести рассматриваемого сечения над плоскостью сравнения 0 - 0.

Механическую сущность уравнения Бернулли можно кратко пояснить так: работа силы тяжести и силы давления равна изме­нению кинетической энергии в сечениях 2 - 2и 1 - 1. С механической точки зрения члены уравнения Бернулли имеют следующий смысл:

( — ) - работа сил тяжести на единицу веса жидкости;

- работа сил давления на единицу веса жидкости;

- изменение кинетической энергии на единицу веса жидкости.

Соединив концы пьезометрических высот в пьезометрических трубках линией Р - Р, получим кривую, которая называется пьезометрической линией. Если соединим горизонты жидкости в скоростных трубках линией N - N, то получим линию, параллельную плоскости сравнения 0 - 0. Линия N - N называется напорной линией. Таким образом, из рисунка 2.6 видно, что полная удельная энергия элементарной струйки (или гидродинамический напор) на рассматриваемом участке от сечения 1 - 1до сечения 2 - 2есть величина постоянная. В этом и состоит закон сохранения энергии, выраженный уравнением Бернулли. Следует указать, что полная удельная энергия элементарной струйки есть величина постоянная для всех рассматриваемых сечений, но удельная потенциальная и удельная кинетическая энергии в различных сечениях могут быть различными.