Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области

1. , , , ;

2. у = х³ - 2, х = 0, у = х – 6, х = 2;

3.2x + 3y² = 0, 2x + 2y + 1 = 0;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , , , ;

8. , .

Ответы: 1.10(кв.ед.). 2.10(кв.ед.). 3 ;4.10(кв.ед.); 5. ;

6. (кв.ед.); 7. 10(кв.ед.); 8. (кв.ед.).

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L.

1. , , ;

2. у = 1 + 8х³, x = 0, y = 9;

3. x + y² = 0, x = 0, y = 1;

4. ;

5. ;

6. , , ;

7. , , ;

8. , , .

Ответы: 1.7,18(куб.ед.) 2. , 3. :4. (куб.ед.);

5. ; 6. (куб. ед.); 7. (куб.ед.); 8. (куб.ед.).

Вопросы и задания для самооценки

1. Что называется первообразной от данной функции? Привести примеры.

2. Сформулировать теорему о первообразной. Указать общий вид первообразных от данной непрерывной функции.

3. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

4. Сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла. Привести примеры.

5. В чем состоят методы интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле? Привести примеры.

6. Какая рациональная дробь называется правильной, неправильной.

7. Какие дроби называются простейшими?

8. Как производится разложение правильной рациональной дроби на простейшие?

9. В чем состоит метод интегрирования рациональной функции?

10. Привести примеры интегрирования простейших иррациональных функций.

11. Указать общий метод вычисления интеграла от функции, рациональной относительно тригонометрических функций. Универсальная подстановка.

12. Описать методы вычисления интегралов вида ∫sinⁿ х cos^m хdх, где n и m – целые числа.

13. Когда говорят, что функция не интегрируется в элементарных функциях (в конечном виде)?

14. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

15. Что называется определенным интегралом от функции на заданном интервале?

16. В чем состоит теорема существования определенного интеграла?

17. Сформулировать и доказать простейшие свойства определенного интеграла.

18. В чем состоят свойства аддитивности и сохранения знака определенного интеграла?

19. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

20. Сформулировать и геометрически иллюстрировать теорему об оценке интеграла.

21. Сформулировать и геометрически иллюстрировать теорему о среднем в интегральном исчислении.

22. Что такое среднее арифметическое значение функции у = f(х) на интервале [а, b]?

23. Сформулировать теорему Ньютона-Лейбница.

24. В чем состоит метод интегрирования по частям в определенном интеграле?

25. В чем состоит метод замены переменной (подстановки) в определенном интеграле?

26. Что называется несобственным интегралом первого рода? Дать геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

27. Какой несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся и какой - условно сходящимся?

28. Что называется несобственным интегралом второго рода? Дать геометрическую иллюстрацию и привести примеры сходящихся и расходящихся интегралов.