Полые металлические волноводы

Полые металлические волноводы – это металлические трубы. Электромагнитная волна может распространяться в трубах с любой формой поперечного сечения, однако она должна отвечать двум требованиям:

· волна должна быть продольной;

· ее частота должна быть выше критической.

Волны в полых металлических волноводах распространяются так же, как продольные волны в плоском волноводе, то есть за счет многократных отражений от стенок. При этом путь, проходимый фронтом волны в волноводе, больше его физической длины и фазовая скорость больше фазовой скорости волны в свободном пространстве.

Длина волны в волноводе, длины волны возбуждения и критическая связаны между собой дисперсионным уравнением:

(4.1)

где	λв	- длина продольной волны в волноводе;
	λ0	- длина волны возбуждения;
	λкр	- критическая длина волны.

Это уравнение показывает, что при изменении длины волны возбуждения длина волны в волноводе изменяется не пропорционально ей. Решив его, легко получить формулу (3.6) для вычисления длины волны в волноводе, которая была выведена для плоского волновода из иных соображений. Следовательно, дисперсионное уравнение (4.1), формула (3.6) для вычисления λ_в и формула (3.7) для фазовой скорости являются универсальными и пригодны для расчета характеристик волны при любой форме поперечного сечения волновода.

Прямоугольный волновод - это металлическая труба прямоугольного поперечного сечения. При решении задачи распространения электромагнитной волны в волноводе принимается допущение, позволяющее на первом этапе не учитывать потери: волновод заполнен вакуумом, а стенки изготовлены из материала с бесконечно большой электропроводностью.

Для описания поля в волноводе необходимо решить волновые уравнения с учетом граничных условий - равенства нулю тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на контуре его поперечного сечения. Эти уравнения решаются методом разделения переменных

В результате решения уравнений достаточно получить формулы только для продольных составляющих поля, так как поперечные составляющие могут быть определены дифференцированием по формулам перехода (2.37) – (2.40).

Критическая длина моды волны в прямоугольном волноводе описывается формулой:

(4.2)

Сравните эту формулу с формулой (3.3) для критической длины волны в плоском волноводе. Там был один размер волновода а и одно число полуволн поперечной стоячей волны между стенками волновода m. В прямоугольном волноводе есть еще один размет b, по которому также может существовать резонанс. Число n означает количество полуволн стоячей волны, возникшей вдоль второго размера волновода.

Числа m и n называются индексами моды волны. Они означают количество полуволн стоячих волн, существующих вдоль широкой и узкой стенок волновода соответственно. Так как величины индексов не ограничены, в полом металлическом волноводе может существовать бесконечно много мод волн.

Выясним вопрос о том, какая мода является основной в прямоугольном волноводе, то есть какая мода имеет максимальную критическую длину волны. Из формулы (4.2) следует, что при фиксированных размерах волновода наибольшую критическую длину волны будет иметь та мода, которой соответствуют наименьшие индексы. Теоретически наименьшая величина индекса моды – нуль. Однако оба индекса моды не могут быть равны нулю: для существования продольной волны необходим резонанс хотя бы по одному размеру волновода.

Индекс моды n обычно соответствует меньшей стенке волновода, ширина которой обычно обозначается b, а индекс m – большей, ширина которой обычно обозначается а. Значит, нулю должен быть равен индекс n: при m = 1, а n = 0 критическая длина волны будет больше, чем при m = 0, а n = 1. Следовательно, в прямоугольном волноводе основной волной будет мода с нижним индексом 10, то есть такая, у которой вдоль широкой стенки возникнет одна полуволна стоячей волны, а вдоль узкой поле однородно.

В плоском волноводе основных мод было две, Е₁ и Н₁. В прямоугольном волноводе основная волна будет только одна, Н₁₀.

Основной волной в прямоугольном волноводе является мода Н₁₀.

Это обусловлено тем, что на стенках волновода должно выполняться граничное условие - касательная составляющая вектора напряженности электрического поля обращается в нуль. У Е-волны касательной к стенкам является не только поперечная, но и продольная составляющая вектора напряженности электрического поля. Поэтому резонансы должны существовать вдоль обеих стенок: если вдоль одной из них поле будет однородным, граничное условие не будет выполняться. Следовательно, электрическая волна, у которой хотя бы один из индексов равен нулю, существовать не может.

Таким образом, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны, длина волны возбуждения которых меньше двух размеров широкой стенки, то есть должно выполняться условие λ₀ < 2а.

Чаще всего волноводы работают на основной моде, поэтому интерес представляет ширина полосы сигнала, который можно передать по волноводу в одноволновом режиме. Обычно соотношение размеров широкой и узкой стенок волновода 2:1. Значит, следующей будет мода с длиной волны возбуждения λ₀ < а. Значит, диапазон частот сигнала, который теоретически можно передать на основной моде в одноволновом режиме будет равен ее критической частоте: Δf = f_кр. Однако весь этот диапазон не используется никогда, обычно выполняется условие 1.05a < λ₀ < 1.6a. Сужение диапазона снизу обусловлено тем, что при приближении длины волны возбуждения к критической увеличивается количество отражений волны от стенок волновода, необходимое для прохождения единицы его длины. Это вызвано тем, что волноводы изготавливаются из материалов с конечной электропроводностью, и при каждом отражении часть энергии теряется на нагревание стенок волновода.

Круглый металлический волновод представляет собой трубу в форме кругового цилиндра с внутренним радиусом а. Задачу описания поля в круглом волноводе надо решать в цилиндрической системе координат, поэтому поперечное распределение поля описывается цилиндрическими функциями первого рода, которые называются функциями Бесселя и обозначаются J_m(x), где m – называется индексом функции.

Моды волн в цилиндрическом волноводе обозначаются так же, как и в электрическом, то есть буквами Е или Н с нижним индексом из двух чисел. Однако физический смысл индексов моды волны иной.

Величина индекса m означает число вариаций поля по угловой координате φ, а величина индекса n - число вариаций по радиальной координате r.

Индекс m – это индекс функции Бесселя. В частном случае при m = 0 поле однородно по углу φ. Такие моды называют симметричными. Индекс n – это номер нуля функции Бесселя или ее производной. Следовательно, он не может быть равен нулю.

Критические длины волн в круглом волноводе описываются разными формулами. Для электрических мод:

(4.3)

где	а	- радиус волновода;
	νmn	- координата нуля № n функции Бесселя индекса m.

Для магнитных мод:

(4.4)

где	а	- радиус волновода;
	μ mn	- координата нуля № n производной функции Бесселя индекса m.

Основную волну цилиндрического волновода можно определить по таблицам нулей функции Бесселя и ее первой производной. В них надо выбрать такой номер нуля, для которого значение аргумента минимально. Минимальноезначение координаты соответствует первому нулю производной функции Бесселя индекса 1. То есть основной волной круглого волновода является волна Н₁₁.

Основной волной круглого волновода является мода Н₁₁.

Определим диапазон частот, который имеет круглый волновод, работающий на основной волне в одномодовом режиме. Для этого необходимо определить критические длины волн для основной волны Н₁₁ и для следующей волны Е₀₁. Получим 3.413а и 2.615а соответственно, что означает теоретическую ширину полосы волновода 0.305f_кр.

Кроме прямоугольного и круглого волноводов существуют и иные, со сложной формой поперечного сечения. Примеры сечений таких волноводов приведены на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Примеры поперечных сечений полых металлических волноводов

Такие волноводы могут иметь лучшие характеристики по сравнению с прямоугольными и круглыми. Однако их использование встречает определенные трудности. Во-первых, это трудности изготовления. Внутренние размеры волновода должны иметь минимальное отклонение от расчетных и высокую чистоту обработки поверхности. Очевидно, что чем сложнее форма поперечного сечения, тем труднее выполнить эти требования.

Во-вторых, распределение поля в них очень сложно описать аналитически. Самые сложные функции, используемые при описании распределения поля в прямоугольном волноводе – sin и cos. В круглом волноводе поле описывается с помощью функций Бесселя, что создает дополнительные трудности при выполнении вычислений. Из всех форм поперечных сечений волноводов, изображенных на рис. 4.1, аналитическое решение получено только для эллиптического волновода (е). При этом используются эллиптические функции, которые еще сложнее, чем функции Бесселя.

Однако в некоторых случаях удается получить качественное решение. Для этого необходимо взять волновод, поле в котором легко рассчитывается или известно, и мысленно или графически деформировать его стенки так, чтобы получить требуемую конфигурацию поперечного сечения. Деформация должна производиться постепенно при выполнении двух условий: силовые линии электрического поля должны быть всегда перпендикулярны стенкам волновода, а силовые линии магнитного поля - перпендикулярны силовым линиям поля электрического. Так построено поле в волноводах на рис. 4.1, а – 4.1, д.

Описание поля в волноводах, изображенных на рис. 4.1, з – 4.1, м, производится путем разбиения волноводов сложной формы на несколько прямоугольных частей, решения волновых уравнений для каждой части отдельно и получение результирующего поля путем учета граничных условий в местах стыков частей.