Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
· Алексашкина Л.Н., Данилов А.А., Косулина Л.Г. Россия и мир в ХХ веке. 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
· Волобуев О.В., Клоков В.А., Пономарев М.В. Россия и мир в XX веке. 11 класс. – М.: Дрофа, 2000.
· Загладин Н.В. Всемирная история, XX век. 11 класс. – М.: Русское слово, 2002.
· Загладин Н.В. История России и мира. ХХ век. 11 класс. – М.: Русское слово, 2003.
Глава 1. Линейная и векторная алгебра
§1 Матрицы | ||
1. Матрица, элементы матрицы | Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицейиз строк и столбцов размера . Для обозначения матрицы применяются круглые скобки и прописные буквы А, В, С..... Числа составляющие матрицу, называются ее элементами. Горизонтальные ряды матрицы называются строками матрицы, вертикальные - столбцами. | А= – матрица размера . 1, 2, 3 – элементы первой строки. 3,5 – элементы третьего столбца. Элемент =3. |
2. Симметрическая матрица | Если amn = anm, то матрица называется симметрической | - симметрическая матрица |
3. Квадратная матрица. Главная и побочная диагонали квадратной матрицы. | Матрица, у которой число строк равно числу ее столбцов называется квадратной матрицей. При этом число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы. В квадратной матрице числа образуют главную диагональ матрицы, а числа побочную диагональ. | Матрица есть квадратная матрица третьего порядка. 1,0,7 – элементы главной диагонали. |
4. Диагональная матрица | Квадратная матрица, у которой все числа, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. | Квадратная матрица вида называется диагональнойматрицей. – диагональная матрица второго порядка. |
5. Единичная матрица | Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают прописной буквой Е | Матрица единичная матрица третьего порядка |
6. Матрица-строка, матрица-столбец. | Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой, состоящая только из одного столбца матрицей - столбцом. | Матрица А=(2 0 5 4) есть матрица – строка. В = – матрица – столбец. |
7. Транспониро- ванная матрица | Матрица называется транспонированнойпо отношению к матрице А, если столбцы (строки) матрицы являются соответствующими строчками (столбцами) матрицы . | ; |
8. Равенство матриц | Две матрицы А и В называются равными(A=B), если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы. | Если и , то |
9. Сумма матриц | Пусть даны матрицы и , имеющие одинаковые размеры . Суммой матриц А и В называется матрица тех же размеров , что и заданные матрицы, элементы которой определяются правилом для всех . Сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. и | Задача. Если то Задача. Даны матрицы ; , найти 2А + В. Решение. , . |
10. Умножение матрицы на число | Произведением матрицы размеров на число называется матрица тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом для всех . Умножение матрицы на число подчиняется закону , где и числа. | Задача. Если и , то |
11. Умножение матриц | Произведением матрицы А размеров на матрицу В размеров называется матрица размеров , элементы которой определяются по формуле для всех и всех . | Задача. Даны и Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение определено и . Задача. Даны , . Решение. Матрица А имеет два столбца, В - две строки; следовательно, определено. . | |
§2 Определители | |||
12. Понятие определителя. Определитель второго порядка. | Определитель –это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы. Определителем второго порядка, соответствующим заданной матрице А, называется число равное Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква . | ||
13. Определитель третьего порядка | Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы побочную диагональ. | Задача. Вычислить определитель матрицы Решение. . |
14. Минор | Минором элемента , где определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием й строки и го столбца. | Задача. Дано: . Найти . Решение. . Ответ. – 2. |
15. Алгебраичес-кое дополнение | Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком . где . | Задача. Дано: . Найти . Решение. . Ответ. 2. | |||
16.Определи-тели го порядка | Определитель го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом и определяется как число где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов . | Задача. Вычислить определитель . . . . Значение определителя: . | |||
17. Понятие вырожденной и невырожденной матрицы | Обозначим через определитель матрицы и вычислим его. Тогда, если , то матрицу называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же , то особенной (вырожденной) матрицей. | . . Так как , то матрица невырожденная. | |||
18. Обратная матрица | Квадратная матрица порядка называется обратной матрицей для данной матрицы , если где единичная матрица. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу , определяемую формулой , где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы . | Задача. Дана матрица , найти . Решение. det A = 4 - 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2 Таким образом, . | |||
19. Ранг матрицы | Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или . Очевидно, что , где меньшее из чисел и . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. | Задача. Дана матрица . Определить ее ранг. Решение. Имеем , . Минор четвертого порядка составить нельзя. Ответ. | |||
20. Определение ранга матрицы методом элементарных преобразований | Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду при помощи последовательности элементарных преобразований. К ним относятся: - умножение строки на произвольное число, отличное от нуля; - прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на одно и тоже число; - вычеркивание нулевой строки. | Задача. Найти ранг матрицы . Решение. После вычитания первой строки из остальных получаем эквивалентную матрицу, а из последней умноженную на 2, . Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две ненулевые строки, которые мы отбросили. Ясно, что т.к. | |||
21. Совместная и несовместная система линейных уравнений. Определенная и неопределенная система линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. | Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной,не имеющая ни одного решения - несовместной. Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы | Задача. Определить совместность системы линейных уравнений: | |||
Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. | Ранг A = 2 Ранг . Система несовместна. | ||||
22. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера | Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di /D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. ; ; ; ; ; ; . | Задача. Решить по формулам Крамера систему уравнений Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы. Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера: Тогда Ответ. {1;2}. | |||
23. Решение систем линейных уравнений матричным методом | Задача. Решить матричным способом систему уравнений Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы: . Так как , то система имеет единственное решение. Составим матрицы Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где Вычислим алгебраические дополнения всех элементов Тогда . | ||||
24. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. | Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений: Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а31 и вычтем из третье и т.д. Получим: , где , j = 2, 3, …, n+1. , i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д. | Задача. Решить систему методом Гаусса. Решение. Составим расширенную матрицу системы. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. | |||
§3 Векторы | |||||
25. Вектор. Координаты вектора. | Вектором называется направленный отрезок. Пусть точка есть начало вектора, а точка его конец, тогда этот вектор обозначается символом и изображается с помощью стрелки. Если заданы 2 точки в пространстве и , то . | Задача. Дано: , . Найти координаты вектора . Решение. , . Ответ. . | |||
26. Модуль вектора | Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектораили его модулем. Модуль вектора обозначается символами Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве , , то . Если , то . | Задача. Дано: , . Найти . Решение. , , . Ответ. . | |||
27. Нулевой вектор | Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и его . | ||||
28. Понятие коллинеарных векторов | Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Пусть векторы и заданы в координатной форме: ,
. -условие коллинеарности двух векторов | Задача. При каких и векторы и коллинеарны? Решение. Так как , то . Отсюда находим, что ; . | |||
29. Понятие компланарных векторов | Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными. | векторы , , - компланарные. | |||
30. Понятие равенства векторов | Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов записывается в виде . В координатной форме: , если . | ||||
31. Противопо- ложный вектор | Вектор называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с длину, но направлен в противоположную сторону. Векторы и называются взаимно-противоположными векторами. | ||||
32. Единичный вектор | Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, обозначается символом и определяется по формуле . | Задача. (Координаты единичного вектора). Определить координаты единичного вектора , если . Решение. , следовательно, . | |||
33. Направляющие косинусы вектора | Обозначим через углы, между вектором и осями координат . Тогда из прямоугольных треугольников получим . | Задача. Вектор задан координатами своих концов: и . Найти проекции вектора на координатные оси и его направляющие косинусы. Решение. Находим проекции вектора на координатные оси: , , , а модуль вектора . Вычислим направляющие косинусы: ; ; . Ответ. ; ; . | |||
34. Сумма векторов | Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Пусть векторы и заданы в координатной форме: Сумма векторов: . | Задача. Дано: , . Найти . Решение. , . Ответ. . | |||
35. Разность векторов | Разностью векторов и называется такой вектор , что . Разность векторов в координатной форме: | Задача. Дано: , . Найти . Решение. , . Ответ. . | |||
36. Умножение векторов | Пусть даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то . Произведение вектора = на число в координатной форме: = | Задача. Дано: . Найти 3 . Решение. 3 ={6;0;9}. Ответ. {6;0;9}. | |||
37. Деление отрезка в данном отношении | Если точка делит отрезок , где , в отношении , т.е. , то ее координаты находятся по формулам , , . В частности, при точка делит отрезок пополам , , . | Задача. Даны точки и . На прямой найти точку , делящую отрезок в отношении . Решение. , , . Следовательно, искомая точка . Ответ. . | |||
38. Проекция вектора на ось | Проекция вектора на ось равна модулю вектора , умноженному на косинус угла между вектором и осью: . | Задача. Вычислить проекцию вектора на направление вектора . Решение. ; , . Следовательно, . Ответ. . | |||
39. Скалярное произведение векторов | Скалярным произведениемвекторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) , если или , или . 3) ; 4) ; 5) , . Если рассматривать векторы ; в декартовой прямоугольной системе координат, то . | Задача. Найти скалярное произведение , если Решение. . Ответ. 336. | |||
40. Определение угла между векторами. Геометрический смысл скалярного произведения векторов. | Так как , то | Задача. Даны вершины треугольника и . Определить внутренний угол треугольника при вершине . Решение. Построим векторы и . Имеем . Тогда Ответ. | |||
41.Ортогональность векторов | Если то или . Условие называется условием перпендикулярности двух векторов | Задача. При каком m векторы и перпендикулярны. Решение. ; . Ответ. . | |||
42. Физический смысл скалярного произведения векторов | Задача. Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки в точку под действием постоянной по величине и направлению силы Решение. Из курса физики известно, что работа , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле Так как , то Ответ. 5. | ||||
43. Векторное произведение векторов | Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) , где - угол между векторами и ; 2) вектор ортогонален векторам и ; 3) , и образуют правую тройку векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , и называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот о т первого ко второму виден против часовой стрелки. В противоположном случае тройка называется левой. Векторное произведение векторов и обозначается: или . Свойства векторного произведения векторов: 1) ; 2) , если или или ; 3) ; 4) . Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов . , | ||||
44. Векторное произведение векторов в координатной форме | Если заданы векторы и в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то | Пример. Найти векторное произведение векторов и . ; . | |||
45. Нахождение площади параллелограмма. Геометрическое приложение векторного произведения векторов. | Площадь параллелограмма, построенного на векторах и определяется по формуле: Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1544 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы! |