Общие сведения и математический аппарат. Сложные периодические сигналы - это бесконечные последовательности импульсов произвольной формы

Сложные периодические сигналы - это бесконечные последовательности импульсов произвольной формы. Такие сигналы широко используются в цифровой технике, формируются генераторами импульсов, появляются на выходах усилителей при их работе в режиме полного или частичного ограничения (рис. 6.1, а, б, в). Далее сигналы могут подаваться на линейные электрические цепи.

а) б) в)

Рис. 6.1

Задача анализа линейных цепей с подобными сигналами решается в два этапа: вначале сложный периодический сигнал заменяется алгебраической суммой более простых «базисных» сигналов с известными методами расчета; затем используется метод наложения - проводится расчет линейной цепи для отдельных базисных сигналов и все ответы суммируются во временном виде.

Исходные моменты для анализа: сложные периодические сигналы длятся неограниченно долго.

Математический аппарат, используемый при анализе:

- общие сведения о представлении функций в виде ряда;

- тригонометрический ряд Фурье и формулы для определения коэффициентов ряда:

, (6.1)

, (6.2)

; (6.3)

; (6.4)

- интегрирование и дифференцирование функций;

- комплексное преобразование сигналов.

Выражение (6.1) записано для входного напряжения (сложного периодического сигнала) и представляет его в виде суммы постоянной составляющей и гармонических составляющих;

где - постоянная составляющая сигнала;

- амплитуды у косинусных составляющих (для нечетных функций равны нулю);

- амплитуды у синусных составляющих (для четных функций равны нулю);

n - номера гармоник (целые числа);

T - период сигнала;

- частота первой (основной) гармоники.

В выражениях (6.2) - (6.4) - аналитическое представление сигнала в пределах интегрирования.

Применяя тригонометрические преобразования и формулы Эйлера (разд. 3), получают другие варианты ряда Фурье:

, (6.5)

или, используя экспоненты:

. (6.6)

В выражениях (6.5), (6.6):

- амплитуда гармоники с номером «n»;

- начальная фаза гармоники с номером «n»;

- комплексная амплитуда гармоники с номером «n», определяемая как

, (6.7)

т.е. аналогично комплексному преобразованию сигналов.

Представления периодических сигналов в виде ряда (6.1) или (6.5) называется спектром сигнала. График амплитуд ряда (6.5) на оси частот называется амплитудным спектром сигнала, а график начальных фаз - фазовым спектром.

При определении амплитуд гармоник по формулам (6.2)-(6.4), (6.7) необходимо задать временной сигнал (рис. 6.1) в пределах интегрирования в аналитическом виде.

Например, для рис. 6.1, а, б, в соответственно

, (6.8)

, (6.9)

. (6.10)