Методы исследования СМО с простейшими потоками заявок

Этот тип СМО наиболее изучен и просто описывается математическими выражениями. Считается, что все потоки, циркулирующие в СМО, являются простейшими: входной поток, поток уходов, поток выталкиваний, поток отказов, поток обслуживания и выходящий.

3.2.1.СМО с отказами

Этот тип СМО отличается тем, что отсутствует очередь, поэтому заявка, пришедшая в систему и заставшая все каналы обслуживания занятыми, получает отказ и покидает систему не обслуженной.

Дисциплины ожидания и обслуживания считаются бесприоритетными.

Одноканальная СМО с отказами. Наиболее простой системой является одноканальная СМО с отказами – М/М/1. Она имеет один канал обслуживания, входящий поток характеризуется интенсивностью l, поток обслуживания – интенсивностью m. Основными характеристиками такой системы являются абсолютная и относительная пропускная способность.

Абсолютная пропускная способность – это интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (l_об).

.

Для того, чтобы определить СМО, нужно: обозначить все её состояния и их количество, задать интенсивность всех возможных переходов между состояниями и начальное состояние.

Рассматриваемая СМО имеет всего два состояния: Z₀ – система свободна, заявок нет, канал обслуживания простаивает; Z₁ – в системе находится одна заявка, которая занимает канал обслуживания, это состояние занятости системы.

В соответствии с таким заданием системы её граф будет иметь вид, показанный на рис. 3.5

l

m

Рис. 3.5

Переходу из состояния Z₀ в Z₁ соответствует поступление заявки на вход системы с интенсивностью l, а переходу из Z₁ в Z₀ соответствует выход обслуженной заявки из системы. С интенсивностью обслуживания m.

Уравнение Колмогорова можно записать так:

; ;

Учитывая условие нормировки и стационарный режим работы СМО, получим: ;

Из этой системы определяются вероятности P₀ и P₁: ; ;

Так как P₀ – это вероятность простоя системы, одновременно это и вероятность того, что система может принять заявку на обслуживание, т.е. вероятность обслуживания P₀=P_об; а P₁ – это вероятность занятости канала, одновременно это и вероятность того, что СМО не может принять новую заявку на обслуживание, т.е. вероятность отказа P₀=P_отк;

Многоканальная СМО с отказами. Система характеризуется отсутствием очереди, наличием m каналов обслуживания, причём все каналы обслуживают заявки с одинаковой интенсивностью m, т.е. являются универсальными. Входящий поток имеет интенсивность l, заявки бесприоритетные. Как и в предыдущем случае состояния такой системы определяются количеством связных с ней заявок, т.е.:

Z₀ – заявок нет система свободна;

Z₁ – в системе находится одна заявка, занимающая один канал обслуживания;

…

Z_m – в системе находятся m заявок, занимающие все каналы обслуживания.

Переходы между состояниями Z₀-Z₁-Z₂-… происходят под воздействием входящего потока заявок с интенсивностью l. Переходы Z_m-Z_m-1-… происходят под воздействием потока обслуженных заявок, с интенсивностью пропорциональной числу каналов обслуживания.

Граф состояний системы имеет вид (рис. 3.6.)

l l.... l l.... l

........

m 2m km (k+1)m mm

Рис.3.6.

По графу составляются система уравнений Колмогорова:

Поскольку граф представляет собой модель размножения и гибели, для нахождения вероятностей состояний можно использовать формулы Эрланга:

;

;или ;

где - приведённая интенсивность входящего потока, - число заявок, поступающих на вход системы за время обслуживания одной заявки; для системы в стандартном режиме всегда r<1.

Характеристиками данной системы являются:

1) вероятность отказа, то есть вероятность того, что все каналы

заняты: ;

2) вероятность обслуживания P_об=1-P_отк=1-P_m;

3) абсолютная пропускная способность: ;

4) среднее число занятых каналов; его можно рассматривать как интенсивность потока обслуженных заявок, отнесённую к интенсивности обслуживания: ;

5) загрузка канала – среднее число занятых каналов, отнесённое к количеству каналов: .

3.2.2.СМО с ожиданием

Этот вид СМО характеризуется наличием очереди, т.е. , поступившая на вход системы заявка, либо сразу назначается на обслуживание, если хотя бы один канал свободен, либо, в противном случае, становится в очередь с числом мест n, заявка получает отказ и покидает систему не обслуженной только в том случае, если все каналы обслуживания и очередь заняты. Дисциплины ожидания и обслуживания считаются бесприоритетными.