ББК 32.97в6

ISBN 5-8158-0059-7 Ó Костромина Н.В., Алдашкин А.В., Морохин Д.В.

Ó МарГТУ, 2000

Введение

Роль моделирования в инженерном творчестве, научных изысканиях и в жизни человека вообще трудно переоценить. Познания любой системы по существу сводится к созданию ее модели. Перед изготовлением какого-либо устройства, разрабатывается его модель (или макет). Любое произведение искусства - это модель, отражающая действительность

Особую ценность представляют конструктивные модели, т.е. такие которые допускают не только отражение свойств, но и исследование зависимости характеристик от параметров системы. Такие модели позволяют оптимизировать функциональные системы.

Роль моделирования как метода научного познания и метода решения технических задач всегда оценивалась очень высоко.

Развитие техники привело к широкому применению физического моделирования устройств и сооружений.

Достижения математики привели к распространению математического моделирования процессов и объектов. Расчетные формулы, применяемые в инженерной практике для анализа и синтеза всевозможных систем - не что иное,как их математические модели.

С разработкой методов имитационного моделирования существенно расширился класс систем, которые можно промоделировать.

Появление ЭВМ способствовало расширению областей применения моделирования.

В наше время трудно найти область человеческой деятельности, где не применялось бы моделирование. Например, разработаны модели производства автомобилей, выращивания пшеницы, функционирования отдельных органов человека, последствий атомной войны.

На данном этапе НТП считают, что моделирование становится основной функцией ВС. Действительно в наше время основные усилия направлены на внедрение ВТ в АСУ->ТП, организационно-экономическими комплексами и процессами проектирования, для создания данных и знаний. Но любая система управления нуждается в информации об управляемом объекте или процессе, а также в модели управляемого объекта или процесса, в моделировании последствий принимаемых решений. В связи с этим применение ВС для моделирования приобретает первостепенное значение.

С другой стороны, сами ВС как сложные и дорогостоящие технические системы могут и должны стать объектами моделирования.

Моделирование целесообразно использовать на:

1) этапе проектирования ВС

2) для анализа функционирования действующих систем в экстремальных условиях или

3) при изменении их состава, структуры, способов управления или рабочей нагрузки.

1) Применение моделирования на этапе проектирования позволяет аккумулировать варианты проектных решений, определять работоспособность и производительность, выявлять распределение ресурсов, принимать решения по умолчанию состава/структуры ВС или по способу организации вычислительного процесса.

Если на этапе проектирования не удается создать модель, процесс разработки принимает итерационный характер. Предварительно выбранный вариант проектного решения анализируют путем моделирования, определяя ожидаемые характеристики. Если эти характеристики не удовлетворяют предъявляемым требованиям, по результатам анализа корректируют проект, и снова проводят моделирование. Этот процесс повторяется до достижения требуемого качества функционирования разрабатываемой ВС.

2) При анализе действующих ВС с помощью моделирования определяют границы работоспособности системы, моделируют экспериментальные условия, в которых может оказаться система. Создание таких условий на действующей системе может привести к катастрофическим последствиям. Применение моделирования может быть полезным при разработке перспектив развития ВС, усовершенствования ВС, при создании многомашинных комплексов и сетей ЭВМ. Целесообразнее использовать моделирование на действующих ВС, поскольку можно опытным путем проверить соответствие модели и оригинала и более точно определить те параметры системы, которые служат исходными данными для моделирования. Моделирование реальной ВС позволяет выявлять ее резервы и прогнозировать качество функционирования в любых условиях.

1. Общие вопросы моделирования систем

1.1. Предмет теории моделирования. Объект и модель

При проектировании, производстве и эксплуатации сложных вычислительных систем (ВС) постоянно возникает необходимость исследования закономерностей, которым подчиняется функционирование этих систем под воздействием различных и разнообразных детерминированных и случайных факторов.

Аналитическое исследование поведения большой системы, как правило, оказывается весьма затруднительным вследствие сложности ее математического описания. В случае воздействия на систему случайных факторов трудности анализа становятся совершенно непреодолимыми.

Экспериментальное исследование поведения системы в реальных условиях ее функционирования принципиально позволяет получить наиболее полную и достоверную информацию о свойственных ей количественных и качественных закономерностях. Однако, оно неосуществимо на стадии разработки системы; затруднительно в тех случаях, когда необходимо обеспечить длительное время постоянство условий эксперимента; может оказаться невыполнимым в тех случаях, когда необходимо варьирование в широких пределах условии эксперимента; недопустимо в условиях аварийных изменений режима работы системы и связано с большими затратами времени и средств.

Наиболее рациональным методом исследования сложных систем является моделирование.

Моделирование - это в общем случае замена объекта, подлежащего исследованию (оригинала), другим объектом (моделью), исследование модели и распространение результатов этого исследования на оригинал.

Объектом – оригиналом может быть любая естественная или искусственная, реальная или воображаемая система, имеющая множество параметров S₀, характеризующаяся множеством свойств Y₀ и изменяющая свои свойства под влиянием внешних воздействий X₀. Параметры системы отражают ее внутреннюю структуру и принципы функционирования, выделяющие ее среди других систем.

Характеристики системы – это ее внешние признаки, отражающие взаимодействие с другими системами, и функционально связанные с ее параметрами. Очевидно, что каждая характеристика y₀ÎY₀ определяется в основном или полностью подмножеством параметров S_0кÌS₀, остальные параметры не влияют на характеристики системы. Как правило, необходимо знать только некоторые характеристики изучаемой системы y_0kÌY₀ при конкретных внешних воздействиях х_0кÌ х₀.

Модель – это также система со своими множествами параметров S_m и характеристик Y_m. Оригинал и модель могут быть сходны по одним параметрам и различны по другим. Замена объекта моделью правомерна в том случае, если исследуемые характеристики оригинала и модели определяются однотипными параметрами и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами. То есть при одинаковых внешних воздействиях X на интервале времени T для оригинала и модели характерны зависимости:

y_ok=f(S_0i, X_0n, T), (1.1)

y_mk=f(S_mi, X_mn, T_m), (1.2)

где y_mk – k-ая характеристика модели, X_mn – внешнее воздействие на модель, T_m - модельное время, т.е. время, в течение которого на модель оказывается воздействие X_mnÌX_m и измеряются характеристики y_mkÌY_m. При этом на всем интервале (0,T_m) или в отдельные периоды времени имеют место зависимости:

S_oi=Y(S_mi), X_on=j(X_mn), T=mT_m (m-масштабный коэффициент).

При указанных условиях можно сделать вывод, что характеристики оригинала и модели связаны:

y_0k=w (y_mk),

и множество характеристик модели Y_mk является отображением множества характеристик оригинала Y_0k, т.е. w: Y_0k ® Y_mk.

Если исследуется сложная система, у которой известны характеристики Y_ok, но не имеется достаточных сведений о параметрах S_0i, с помощью моделирования может решаться обратная задача. Строят предположительную модель, определяют ее характеристики Y_mk при эквивалентных внешних воздействиях X_mn (j:X_on®X_mn), и, если оказывается, что имеет место отображение Y: Y_ok®Y_mk с некоторой известной функцией Y, то считается, что оригинал имеет такие же параметры, что и модель.

Моделирование целесообразно проводить, когда модель не имеет признаков оригинала, препятствующих его исследованию, или имеются отличные от оригинала параметры, способствующие изучению свойств модели. В основе процесса моделирования лежит теория моделирования.

ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ - это взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания и изучения моделей. Эти положения, определения, методы и средства являются предметом теории моделирования, как и сами модели.

Основная задача теории моделирования заключается в том, чтобы вооружить исследователей технологией создания таких моделей, которые достаточно точно и полно отражают свойства оригинала, проще и быстрее поддаются исследованию и допускают перенесение результатов на оригинал.

В качестве объектов-оригиналов в данной работе будут рассматриваться вычислительные системы. Понятие ВС берется в широком смысле слова от однопроцессорных систем обработки данных до распределенных сетей ЭВМ с различным программным обеспечением и функциональным назначением.

Поскольку ВС – это искусственные инженерные системы, все их параметры известны, а значит, могут быть изучены. Это предопределяет принципиальную возможность моделирования ВС.

1.2 Классификация моделей

Все модели принято делить на физические и математические. Физическая модель – это система, подобная оригиналу, или система, у которой процесс функционирования совпадает с оригиналом, и которая имеет такую же или иную физическую природу.

Виды физических моделей натурные, квазинатурные, масштабные и аналоговые.

Натурная модель – это реальная исследуемая система (макет или опытный образец), полностью соответствующая оригиналу, что обеспечивает высокую точность и достоверность результатов моделирования. Созданием и исследованием натурных моделей заканчивается процесс проектирования ВС.

Квазинатурная модель - это совокупность натурной и математической (абстрактной) моделей. Используется в том случае, если математическая модель части системы неудовлетворительна (например, модель человека-оператора при моделировании ВС). Примером такой модели могут служить реальные АСУ, исследуемые совместно с математическими моделями соответствующих производств.

Масштабная модель – это система той же физической природы, что и оригинал, но отличающаяся масштабами. При проектировании ВС такие модели могут использоваться для анализа вариантов компоновки системы и ее элементов.

Аналоговая модель – это система, имеющая физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Обязательным является условие однозначного соответствия между параметрами изучаемого объекта и его модели, а также тождественности математических описаний процессов,протекающих в них. Для создания аналоговой модели требуется математическое описание изучаемой системы.

Наиболее широко распространены электрические и электронные аналоговые модели, в которых сила тока или напряжение являются аналогами физических величин другой природы. Аналоговые модели отличаются гибкостью, простотой подгонки к изменениям измеряемых характеристик системы. Аналоговые модели используются при исследовании средств ВТ на уровне логических элементов и электрических цепей, а также на системном уровне, когда функционирование системы описывается дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

Математическая модель – формализованное описание системы, с помощью абстрактного языка, в частности, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математической модели можно использовать любой математический аппарат – алгебраическое, дифференциальное или интегральное исчисление, теорию множеств, теорию автоматов и т.д.

В основе классификации математических моделей лежат цели моделирования и особенности моделируемого объекта. В зависимости от необходимости учета случайных факторов различают детерминированные и вероятностные (стохастические) модели. Детерминированные устанавливают однозначное соответствие между параметрами и характеристиками модели, а вероятностные - между статистическими значениями этих величин.

По методу исследования математические модели разделяют на аналитические, численные и имитационные.

Аналитическая модель - это формализованное описание системы позволяющее получить решение уравнения (1.2) в явном виде, используя математический аппарат.

Численная модель характеризуется зависимостью вида (1.2), которая допускает частные численные решения для конкретных начальных условий и параметров.

Имитационная модель – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояний системы под воздействием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не могут быть описаны с помощью математических или численных методов, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить измерения ее характеристик.

Имитационная модель (ИМ) может быть создана для гораздо более широкого класса систем, чем аналитическая или численная модель. Для реализации ИМ, как правило, используются ВС, поэтому средствами формализованного описания ИМ служат универсальные или специальные алгоритмические языки.

1.3. Основные этапы моделирования

Упрощенно процесс моделирования содержит следующие этапы:

1. Постановка цели моделирования.

2. Разработка концептуальной модели.

3. Подготовка исходных данных.

4. Разработка математической модели.

5. Выбор метода моделирования.

6. Выбор средств моделирования.

7. Разработка программной модели.

8. Проверка адекватности (тождественности) и корректировка модели.

9. Планирование машинных экспериментов.

10. Моделирование на ЭВМ.

11. Анализ результатов.

При моделировании различных систем трудоемкость одних и тех же этапов может быть различной. Например, метод моделирования или средство моделирования могут быть определены заранее. Если математическая модель оказывается очень простой, то не требуется машинное моделирование или разработка программной модели может исключать создание математической модели.

Особо важным является первый этап, поскольку все последующие этапы моделирования должны ориентироваться на конкретную цель. На этом же этапе рассматривается вопрос о единицах измерения результатов моделирования – относительных (лучше – хуже, больше – меньше), дающих качественную оценку, и абсолютных. В последнем случае решается вопрос о точности измерения.

Проверка адекватности модели, хотя и выделена отдельным этапом, должна проводиться на всех этапах, начиная с разработки концептуальной модели и кончая анализом результатов моделирования.

На этапе разработки математической модели создается полностью формализованное описание функционирования системы на базе одного из разделов математики, но не для всех сложных систем условия их взаимодействия с внешней средой и цели моделирования могут быть описаны с помощью математического аппарата. Для таких систем необходимо разрабатывать однозначные зависимости характеристик от параметров и внешних воздействий для каждого элемента системы.

Анализ результатов моделирования должен выполняться обязательно, чтобы проверить их достоверность и выработать рекомендации о способах повышения качества исследуемой системы.

1.3.1. Постановка цели моделирования

Перед разработкой модели необходимо сформулировать цели моделирования, т. к. для одной и той же системы S₀ можно создать множество моделей S_m в зависимости от решаемой задачи, могут существенно отличаться друг от друга.

Как правило, при проектировании или модернизации любой системы возникает задача оценки ее эффективности, или выбор наиболее эффективного варианта. Решение этих задач и является главными целями моделирования.

В зависимости от типа системы и вида задач конкретизируется понятие эффективности системы.

Эффективность может характеризоваться превышением стоимости эксплуатации над затратами на создание системы. Такой подход используется для реальных работающих систем, но для проектируемых систем подсчет затрат на эксплуатацию сложен.

Кроме того, поскольку каждая система может быть элементом системы более высокого уровня, а та, в свою очередь, – элементом системы еще более высокого уровня, и все эти системы взаимосвязаны, определить эффективность системы по стоимости практически оказывается невозможным.

Например, ВС, входящая в состав ИВЦ, используется в системе обучения студентов, в системе управления набором и обучением студентов, в системе научных и технических разработок, информационного обеспечения и т. д. Одновременно эта ВС является элементом систем энергоснабжения, технического обслуживания, материального снабжения и т. д. Очевидно, оценить в единых единицах общую эффективность данной системы практически невозможно.

В этом случае используется понятие технико-экономической эффективности, которая учитывает затраты и измеряемые характеристики системы:

E=E(Y₀), (1.3)

где множество характеристик Y₀ – это производительность, надежность, стоимость, масса, габаритные размеры и т. д.; Е – показатель эффективности.

Если известны функции (1.1) и (1.3), то показатель эффективности можно вычислить по множеству параметров системы S₀ при определенных внешних воздействиях X₀.

Если известны обратные зависимости, т.е. y_0k = F(E), то задача моделирования становится тривиальной, т.к. параметры системы оказывается возможным вычислить по заданному показателю эффективности. Если эффективность системы оценивается по одному частному показателю качества y_opt, а по остальным характеристикам накладывают ограничения на допустимые изменения, то

E=y_opt;

y_imin<=y_i <=y_imax, i=1,...,n.

где y_imin,y_imax – нижний и верхний пределы i-го показателя качества; а n – число учитываемых характеристик системы, и оценка эффективности называется однокритериальной. Недостаток однокритериальной оценки: при нескольких вариантах системы с одинаковыми значениями y_opt при существенно различающихся других показателях качества невозможно определить наилучший вариант системы.

При многокритериальной оценке функция (1.3) представляется в форме интегрального (обобщенного) критерия, который достаточно просто связывает показатель эффективности со всеми учитываемыми характеристиками системы.

Наиболее распространен нормированный аддитивный критерий

где функции g (y_i) подбираются так, чтобы обеспечивалось условие g (y_i)Î{0,1}, а весовые коэффициенты b_i, согласующие шкалы измерений различных характеристик, должны удовлетворять условию

Если 0£ y_i £y_imax и g (y_i) = y_i/y_imax, нормированный аддитивный критерий становится линейным. Сложность многокритериальной оценки – определение весовых коэффициентов b_i.

Таким образом, постановка цели моделирования заключается, прежде всего, в выборе критерия эффективности E исследуемой системы, т.е. задание множества характеристик Y_0k, их весовых коэффициентов и допустимых пределов изменения.

Кроме того, из множества характеристик Y_0k следует исключить те, которые могут быть определены без моделирования, конкретизировать внешние воздействия X_0n ÌХ₀, при наличии которых функционирует система и определить интервал времени Т₀ работы системы. Множество внешних воздействий должно включать как полезные воздействия, способствующие функционированию системы, так и возмущающие, препятствующие работе системы. При этом не все возмущающие воздействия целесообразно учитывать при моделировании, т.е. допускается некоторая идеализация работы системы. Временной интервал Т₀ должен отражать период активного функционирования системы, если за это время значения внешних воздействий изменяются, то они должны быть заданы как функции времени Х_on(t). Временной интервал T_о может быть как непрерывным, так и дискретным.

Целью моделирования является не только оценка эффективности, но и оптимизация системы, в этом случае необходимо выделить те параметры, которые можно изменить – S_jÌS₀ и выбрать критерий оптимизации (см. разд. 3). Также целью моделирования может быть выявление функциональных зависимостей характеристик системы от параметров (1.2).

При определении целей моделирования также задается точность получения результатов моделирования.

И, наконец, на первом этапе необходимо решить вопрос о целесообразности проведения моделирования, т.к. затраты на моделирование возрастают пропорционально сложности системы и точности получаемых результатов. Если моделирование проводится с целью обоснования работоспособности системы, то экономический эффект от эксплуатации данных систем должен превосходить затраты на моделирование. Если целью моделирования является оптимизация системы, то затраты на моделирование должны окупаться за счет разницы между наилучшим и наихудшим вариантами системы.

1.3.2. Разработка концептуальной модели

В процессе разработки модель создается в трех видах: концептуальная, математическая и программная.

Концептуальная (содержательная) модель – это абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства элементов S₀ и связи, присущие исследуемой модели.

Концептуальная модель – словесное описание природы и параметров элементарных явлений исследуемой системы, видов и способов взаимодействия между ними, значений каждого элементарного явления в общем процессе функционирования системы.

Основой для создания концептуальной модели являются цели моделирования.

Основной проблемой при создании модели является нахождение компромисса между простотой модели и ее адекватностью с исследуемой системой. Очевидно, что процесс создания концептуальной модели не может быть полностью формализован.

При создании концептуальной модели необходимо выбрать уровень детализации модели. Это можно сделать путем построения иерархической последовательности моделей. Моделируемая система представляется семейством моделей, каждая из которых отображает ее поведение на различных уровнях детализации. На каждом уровне исследуют характерные особенности системы, с помощью которых описывают поведение системы. Уровни детализации иногда называют стратами, а процесс выделения уровней – стратификацией.

Выбор уровня моделирования зависит от целей моделирования. Для одной и той же системы можно выделять различные уровни детализации.

Обычно в модель включаются элементы одного уровня детализации, но можно построить модель и из разных уровней, если на более общем уровне свойства отдельных элементов мало известны или трудно составить их описание.

Правило построения стратифицированной концептуальной модели:

в модель входят те параметры системы S_ok, которые обеспечивают определение характеристик Y_ok при некоторых внешних воздействиях X_on на заданном временном интервале Т функционирования системы, и, в первую очередь, параметры, допускающие варьирования в процессе моделирования – S_oj; остальные параметры могут быть исключены из модели.

Правило расчленения системы на элементы:

каждый элемент обеспечивает выполнение элементарных операций в системе, поэтому в модели должны присутствовать параметры, реализующие выполнение всех технических процессов (преобразование информации, энергии, вещества), а также элементы, управляющие ресурсами и процессами и обеспечивающие хранение информации.

Детализация системы должна производиться до такого уровня, чтобы для каждого элемента можно было получить зависимости выходных характеристик от входных воздействий.

После детализации проводится локализация концептуальной модели, которая осуществляется путем представления внешней среды в виде генераторов внешних воздействий, включаемых в состав модели в качестве элементов. Генераторы внешних воздействий разделяются на генераторы рабочей нагрузки, поставляющие на вход системы основные исходные объекты — энергию, данные для ВС; генераторы управляющих и возмущающих воздействий. Генераторы возмущающих воздействий нарушают процесс функционирования системы.

Приемники выходных воздействий обычно в модель не включают, т.к. считается, что результаты функционирования системы внешняя среда принимает полностью и без задержек.

Завершается построение концептуальной модели указанием связей между элементами, которые подразделяются на вещественные и информационные. Вещественные связи отражают возможные перемещения предмета преобразования от одного элемента к другому, а информационные связи обеспечивают передачу между элементами управляющих воздействий. Эти связи не обязательно должны быть представлены материальным каналом связи; более того, в простых системах, элементы которых имеют по одной выходной вещественной связи, информационные связи могут вообще отсутствовать. Управление процессом функционирования в таких системах определяется структурой системы. Примерами подобных систем могут служить логические элементы.

В более сложных системах, включающих многофункциональные элементы или элементы, имеющие более чем по одной выходной вещественной связи, имеются управляющие средства (решающие элементы) и соответствующие информационные связи. Это системы, которые функционируют в соответствии с программным или алгоритмическим принципом управления.

В концептуальной модели также должны быть конкретизированы все решающие правила или алгоритмы управления рабочей нагрузкой, элементами и процессами.

Модель, составленная в соответствии с изложенными правилами, соответствует системе в статике, т.е. описывает её состав и структуру. Для представления динамической системы модель следует дополнить описанием работы системы.

Динамику функционирования системы отражают совокупность алгоритмов управления A₀, параметров входных воздействий X₀ и элементов S₀, т.е. множество характеристик динамической системы определяется так:

Y = Ф(X,S,A,T). (1.4)

Для систем со структурным принципом управления динамика функционирования представляется в виде последовательной смены состояний Z(t₀), Z(t₁),..., Z(T). Если известно начальное состояние системы Z₀ = Z(t₀), то можно определить ее состояние в любой момент tÎT, при известной зависимости Z(t) = H(X,Z₀,Z,t).

Выходные характеристики в этом случае определяются так

Y = G(Z,T),

Z(t) = H(X, Z₀, Z, t), (1.5)

где Z(t) - текущее состояние системы, G,Ф –операторы выходов, H – оператор переходов.

Разработанная концептуальная модель проверяется на адекватность исследуемому объекту

1.3.3. Подготовка исходных данных

В процессе создания концептуальной модели выявляются качественные и количественные параметры системы S₀ и внешних воздействий X₀, и определяются их конкретные значения.

Подготовка исходных данных может проходить параллельно с разработкой концептуальной модели.

Подбор исходных данных связан с определенными трудностями:

во-первых, значения параметров могут быть не только детерминированными, но и стохастическими;

во-вторых, не все параметры оказываются стационарными, особенно для внешних воздействий;

в-третьих, обычно моделируется проектируемая система, которая должна функционировать в новых условиях.

В целях упрощения модели случайные параметры представляются детерминированными средними значениями в том случае, если случайная величина имеет небольшой разброс. Например, производительность процессора может быть задана определенным количеством операций, выполняемых в единицу времени. Это количество детерминировано для определенных операций, выполняемых процессором.

При создании модели может иметь место и замена детерминированных параметров случайной величиной, при интеграции элементов системы или внешних воздействий с целью сокращения размерности модели. Например, для моделирования многократного выполнения программы можно вместо задания совокупности параметров задать случайную величину с определенным законом распределения.

Для случайных параметров собирается статистика, выявляется возможность представления параметра некоторым теоретическим законом распределения.

Особую сложность представляет сбор данных по нестационарным случайным параметрам, какими являются параметры внешних воздействий. Пренебрежение нестационарностью может привести к существенным нарушениям адекватности модели.

В процессе подготовки исходных данных необходимо проводить аппроксимацию функций, связывающих параметры входных воздействий и выходные характеристики в том случае, если указанная функциональная связь не очевидна, а может быть получена в ходе эксперимента.

Для параметров, отражающих новые элементы или условия функционирования, и для которых невозможен сбор данных, выдвигается гипотеза относительно их возможных значений. При этом используется информация об аналогах или прототипах системы.

Заканчивается этап сбора и обработки данных их классификацией на:

– внешние и внутренние;

– постоянные и переменные;

– непрерывные и дискретные;

– линейные и нелинейные;

– стационарные и нестационарные;

– детерминированные и стохастические, и т.п.

Для переменных, варьируемых в ходе моделирования, определяются границы изменения, а для дискретных - возможные значения.

1.3.4. Разработка математической модели

Концептуальная модель и количественные исходные данные служат основой для разработки математической модели системы.

Создание математической модели преследует две цели:

дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания;

представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Вследствие разнообразия классов систем разработать единую методику создания математической модели невозможно. Для некоторых систем математические модели уже известны. Например, для динамических систем без предыстории с алгоритмическим принципом управления математическая модель – это зависимость вида (1.4), а для систем со структурным принципом управлением математическая модель обычно представляется в виде (1.5).

Для других классов систем разработаны специальные формализованные схемы и математические методы, позволяющие описывать функционирование системы и выполнять исследования.

1) Агрегативные системы (AC). Это одна из наиболее общих формализованных схем. Метод АС позволяет представлять функционирование непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем. В наибольшей степени этот метод пригоден для описания систем, входные и выходные воздействия у которых представлены в виде сообщений или сигналов.

В основе метода лежит понятие агрегата как элемента системы. Математическая модель агрегата выражается в виде зависимостей (1.5) с конкретизацией входных воздействий, состояний и операторов выходов и переходов. В частности, выделяют особые состояния агрегата, например, получение входного или управляющего сигнала или выдача выходного сигнала. Из особого состояния агрегат скачкообразно может переходить в новое состояние. Выделяются отдельные операторы перехода для случая поступления в агрегат входного сигнала V`, управляющего сигнала V², входного и управляющего сигналов V, вида случайных выходных сигналов W и изменения состояния в интервалах между особыми состояниями U.

Агрегативная система образуется при расчленении систем на элементы, каждый из которых представляет собой агрегат.

Описание исследуемых объектов в виде агрегативных систем позволяет использовать универсальные средства имитационного моделирования.

2) Кусочно-линейные агрегаты. Дальнейшая конкретизация структуры состояний, входных и выходных воздействий, операторов переходов и выходов приводит к понятию кусочно-линейных агрегатов, удобных для формализации разнообразных процессов. В основе этого подхода лежит кусочно-линейный закон изменения состояний системы, что обеспечивает простоту вычисления опорных моментов времени и реализации модели системы. Для кусочно-агрегативных систем в частных случаях результаты можно получить путем применения аналитического метода.

3) Управляющие последовательности. Метод заключается в том, что функционирование системы определяется управляющими последовательностями, имеющими определенный физический смысл, и алгоритмами, описывающими управление системой с помощью введенных последовательностей. Управляющие последовательности и алгоритмы позволяют составлять рекуррентные соотношения для описания функционирования кусочно-линейного агрегата.

4) Стохастические сети. Используются для описания стохастических систем с дискретным множеством состояний, входных и выходных воздействий, функционирующих в непрерывном времени. Стохастическая сеть – это совокупность систем массового обслуживания (СМО), в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы в другую. Стохастическая сеть при определенных условиях может рассматриваться как совокупность независимых СМО, что дает возможность применять теорию массового обслуживания для проведения аналитического моделирования.

5) Системы массового обслуживания. В основе СМО лежит понятие устройства, которое может выполнять конечное множество операций при возникновении требования (заявки) на выполнение операции. Если устройство выполняет любую операцию, считается, что оно занято (работает), в противном случае устройство свободно. Такое описание системы как устройства с ограниченным числом состояний дает еще большую абстракцию, чем понятие агрегата.

Временная последовательность заявок называется потоком заявок. Общий поток заявок может состоять из нескольких потоков. В случае независимости потоков, случайных моментов наступления или завершения обслуживания заявок в системе могут возникать очереди. Очередь - это заявки ожидающие обслуживания, когда устройство занято. Совокупность устройства, потоков заявок и очередей к нему и называют системой массового обслуживания.

Теория массового обслуживания широко разработана и нашла применение при моделировании ВС.

6) Непрерывные детерминированные системы. Если в модели не учитывается воздействие случайных факторов, а операторы переходов и выходов непрерывны, то зависимости (1.5) можно представить в виде дифференциальных уравнений:

=`h(`Z(t),`X(t),t); (1.6)

`y=`g(`Z(t),t); (1.7)

где `h,`g-векторы функций состояний и выходов;

`X,`Y,`Z-векторы входных воздействий, состояний и выходных воздействий соответственно.

Для линейных систем, когда операторы переходов и выходов однородны и аддитивны, соотношения (1.6) и (1.7) упрощаются и проводится исследование аналитическими или численными методами.

Подобные математические модели используются при анализе функциональных элементов и электрических устройств ВС.

7)Автоматы. Рассмотренные выше формализованные математические схемы пригодны для систем, функционирующих в непрерывном времени. Системы, состояния которых определены в дискретные моменты времени t₀,t₁,…, получили название автоматов. В каждый дискретный момент времени в автомат поступает входной сигнал X(t), под действием которого автомат переходит в новое состояние в соответствии с функцией переходов

Z(t) = j_a(Z(t-1),X(t)), и выдает выходной сигнал в соответствии с функцией выходов Y(t) = Y_a(Z(t-1),X(t)).

Если автомат характеризуется конечным множеством состояний, входных и выходных сигналов, он называется конечным.

8)Вероятностные автоматы. Эти модели используются для описания стохастических систем, функционирующих в дискретном времени. Функции переходов и выходов такого автомата определяют распределение вероятностей на множестве состояний и выходных сигналов соответственно. Функционирование вероятностного автомата описывается с помощью цепей Маркова. Для оценки характеристик систем, представляемых в виде автомата, могут использоваться аналитические или имитационные методы.

Кроме приведенных математических схем для формализованного описания работы систем используется бинарная алгебра, сети Петри, Е-сети и др.

Если невозможно построить математическую модель всей системы, математические модели создаются для отдельных элементов, а для всей системы строится программно-алгоритмическая модель.

1.3.5 Выбор метода моделирования

Разработанная математическая модель может быть исследована аналитическими или имитационными методами.

Аналитический метод дает наиболее полное исследование модели, в некоторых случаях с применением методов оптимизации. Для исследования модели аналитическим методом математическую модель необходимо преобразовать к явному виду зависимостей характеристик и параметров системы и внешних воздействий. Аналитический метод исследования используется обычно для первоначальной грубой оценки характеристик всей системы или отдельных подсистем, а также на ранних стадиях проектирования, когда нет информации для более точного построения модели.

Если модель не поддается исследованию известными аналитическими методами, целесообразно применять численные методы, которые могут использоваться для более широкого класса систем. Результатом исследования систем численными методами являются таблицы значений искомых величин для конечного набора значений параметров и нагрузки.

Для моделирования можно применять качественные методы, если аналитическими и численными методами полученные уравнения решить нельзя. Эти методы позволяют оценивать приближения искомых величин и поведение системы в целом. Важность качественных методов возрастает с увеличением сложности систем.

Наиболее универсальным методом исследования систем и количественной оценки их характеристик является имитационное моделирование (ИМ), при котором динамические процессы системы заменяются имитационными процессами в абстрактной модели, но с сохранением длительностей и временных последовательностей отдельных операций. Поэтому метод ИМ мог бы называться алгоритмическим или операционным. В процессе имитации, как при эксперименте с оригиналом, фиксируются определенные события и состояния или изменяются выходные воздействия, по которым вычисляются характеристики качества функционирования системы.

ИМ позволяет рассматривать процессы, происходящие в системе, на любом уровне детализации. Используя алгоритмические возможности ВС, в имитационной модели можно реализовать любой алгоритм управления или функционирования. Имитационными методами могут исследоваться и модели, допускающие аналитическое исследование. Потому имитационные методы являются основными методами моделирования сложных систем.

Методы ИМ различаются в зависимости от класса исследуемых систем, вида параметров системы и внешних воздействий и способов задания модельного времени.

В первую очередь различают методы ИМ дискретных и непрерывных систем. К дискретным относятся системы с дискретным изменением состояний, т.е. системы, имеющие конечное множество состояний, переход между которыми происходит мгновенно. Непрерывная система - это система, состояния которой изменяются постепенно, принимая бесконечное множество значений. У непрерывных систем могут быть искусственно выделены определенные состояния элементов, например, некоторые характерные значения переменных фиксируются как достижение определенных состояний. При моделировании ВС на системном уровне их удобно рассматривать как системы с дискретным изменением состояний.

Одним из основных параметров при ИМ является модельное время, которое отображает время функционирования реальной системы. В зависимости от способа продвижения модельного времени различают методы моделирования с приращением временного интервала и методы с продвижением времени до особых состояний. В первом случае модельное время продвигается на величину Dt и определяются изменения состояний элементов и выходных воздействий системы, которые произошли за это время. После этого модельное время продвигается на Dt и процедура повторяется и т.д. до конца периода моделирования Т_m; Dt обычно постоянно, но может быть и переменным. Этот метод называют моделированием по принципу “d t ”. Во втором случае в текущий момент модельного времени t сначала анализируются будущие особые состояния - поступление дискретных входных воздействий, завершение обслуживания и т.п., и определяется их начало t_i>t. Затем выбирается наиболее раннее особое состояние и модельное время продвигается до момента наступления этого состояния. Между двумя особыми состояниями система не изменяет своего состояния. Затем анализируется реакция системы на выбранное особое состояние (например, определяется момент наступления следующего особого состояния) и модельное время продвигается до будущего особого состояния. Процесс повторяется до завершения модельного времени T_m. Этот метод называют моделированием по принципу особых состояний или принципу “¶ z ”. Метод позволяет экономить машинное время моделирования, но используется только тогда, когда возможно определение моментов наступления будущих особых состояний.

По значениям количественных параметров системы (детерминированные или случайные) различают моделирование детерминированное и статистическое. При статистическом моделировании для получения достоверных вероятностных характеристик процессов функционирования системы требуется их многократное воспроизведение с различными конкретными значениями случайных факторов и статистической обработкой результатов измерений. В основу статистического моделирования положен метод статических испытаний - метод Монте-Карло.

Особое значение при статистическом моделировании имеет нестационарность переменных и внешних воздействий системы. В этом случае должны быть использованы специальные методы моделирования, в частности, метод повторных экспериментов.

Еще одним классификационным параметром считается схема формализации, принятая при создании математической модели. Различают методы моделирования, ориентированные на алгоритмический (программный) или структурный (агрегатный) подход. В первом случае процессы управляют элементами системы, во втором - элементы управляют процессами, определяющими порядок функционирования системы.

Таким образом, выбор метода моделирования полностью определяется математической моделью и исходными данными.

1.3.6. Выбор средств моделирования

После выбора метода моделирования необходимо выбрать технические и программные средства для проведения моделирования. В качестве программных средств могут быть использованы алгоритмические языки или автоматизированные системы моделирования.

1. Алгоритмические языки. Для создания программных моделей могут использоваться любые универсальные алгоритмические языки общего назначения, имеющие средства для реализации параллельных алгоритмов и динамического распределения памяти.

Достоинством использования указанного типа языков для ИМ является возможность применения стандартного программного обеспечения, построение быстродействующих и экономичных по затратам памяти программных моделей, учет детальных особенностей функционирования моделируемых систем.

2. Языки моделирования. Для облегчения решения задач, характерных для ИМ, таких, как организация псевдопараллельных вычислений, динамическое распределение памяти, операции с модельным временем, отображающим время функционирования оригинала, имитации случайных процессов ведения массива событий и т.п. созданы специальные проблемно-ориентированные средства (программные системы), которые называют языками моделирования.

По структуре и правилам использования программные языки моделирования подобны универсальным алгоритмическим языкам: они имеют набор операторов, сопровождаемых соответствующими операндами. Но операторы языков моделирования предполагают выполнение более сложных процедур, что упрощает составление программной модели. Это языки более высокого уровня, чем алгоритмические.

В настоящее время известно более 500 языков моделирования, что обусловлено разнообразием классов моделируемых систем, методов математического описания, целей и методов моделирования.

Языки моделирования подразделяются на языки моделирования дискретных, непрерывных и комбинированных систем.

3. Автоматизированные системы моделирования. С целью дальнейшего упрощения и ускорения создания машинных моделей были созданы автоматизированные системы моделирования, которые обеспечивают автоматическое создание программной модели по одной из формализованных схем на основе задаваемых параметров системы, внешних воздействий и особенностей функционирования. По результатам машинного эксперимента основные выходные данные вычисляются и выводятся автоматически, дополнительные - по специальному указанию. Такие системы называют универсальными автоматизированными имитационными моделями или имитационными программами.

Технические средства моделирования – это универсальные или специализированные ВС. Основным требованием, предъявляемым к универсальным ВС, используемым для ИМ, является наличие оперативной памяти достаточно большой емкости, т.к. в процессе моделирования производится многократное обращение к параметрам элементов и воздействий (статическим и динамическим). Например, при моделировании системы, состоящей из 20 - 30 элементов емкость оперативной памяти должна быть не менее 100 Кбайт.

При статистическом моделировании каждый эксперимент требует существенных затрат машинного времени, потому желательно использовать для моделирования высокопроизводительные ВС. Остальные требования к составу и характеристикам универсальных ВС не являются существенными. К специальным техническим средствам аналитического моделирования относятся аналоговые вычислительные машины, используемые для исследования непрерывных детерминированных систем.

В связи с широким применением ИМ в различных областях, разрабатываются и выпускаются специальные ВС, такие, как стохастические машины, машины имитационного моделирования, гибридные моделирующие комплексы.

Программные и технические средства моделирования выбираются с учетом нескольких критериев:

1) достаточность и полнота средств для реализации концептуальной и математической моделей;

2) доступность, простота и легкое освоение программных средств моделирования;

3) быстрота и точность создания модели.

После выбора средств моделирования создается программная модель, т.е. разрабатывается алгоритм, конкретизируется форма представления данных и результатов, проводится написание и отладка программы.

1.3.7.Проверка адекватности и корректировка модели

Проверка адекватности модели заключается в оценки ее соразмерности с исследуемой системой, а также равнозначности системе. Однако, модель не должна быть полным отображением системы, так как при этом теряется смысл ее создания.

В процессе создания модели адекватность нарушается в результате стратификации, детализации, локализации; из-за идеализации внешних условий и режимов функционирования, исключения тех или иных параметров, пренебрежения случайными факторами. Принятые аппроксимации, предположения и гипотезы также уменьшают соответствие между системой и моделью. По этим причинам результаты моделирования будут существенно отличаться от реальных.

Естественной простейшей мерой адекватности модели служит отклонение некоторой характеристики оригинала от соответствующей характеристики модели :

,

или в относительных единицах:

.

Считается, что модель адекватна системе, если вероятность того, что отклонение не превышает предельной величины , больше допустимой вероятности :

Практическое использование этого критерия затруднено по следующим причинам: во-первых, для проектируемых моделируемых систем отсутствует информация о значении ; во-вторых, система оценивается по множеству характеристик, у которых могут быть разные величины отклонения; в-третьих, если характеристики - случайные величины и функциями и нестационарные, то для них результаты моделирования могут быть более точными, чем для оригинала из-за большого числа реализаций; в-четвертых, отсутствует возможность априорного точного задания предельных отклонений и допустимых вероятностей .

На практике оценка адекватности проводится путем следующих проверок:

– проверка моделей внешних взаимодействий (оценка математическими методами предположений, аппроксимаций, гипотез);

– проверка концептуальной модели (выявляются ошибки постановки задачи);

– проверка математической модели;

– проверка способов измерения и вычисления выходных характеристик (выявляются ошибочные решения);

– проверка программной модели (анализируется соответствие операций и алгоритмов функционирования программной и математической модели, проводятся контрольные расчеты при типовых и предметных значениях переменных, выявляются инструментальные ошибки программирования).

По результатам проверки адекватности выявляются несоответствия модели системе и проводятся изменения модели по типам: глобальные, локальные и параметрические.

Глобальные изменения проводятся в случае, если в концептуальной или математической модели имеются методические ошибки. Устранение таких ошибок приводит к разработке новой модели.

Локальные изменения связаны с уточнением некоторых параметров или алгоритмов. Они выполняются путем замены моделей компонентов системы и внешних воздействий на эквивалентные, но более точные модели. Локальные изменения требуют частичного изменения математических моделей, но могут привести к необходимости разработки новой программной модели. Для уменьшения вероятности проведения таких изменений модель желательно разрабатывать с большей степенью детализации, чем это необходимо для достижения целей моделирования.

К параметрическим относятся изменения некоторых специальных параметров, называемых калибровочными. Для повышения адекватности модели путем параметрических изменений необходимо заранее выявить калибровочные параметры и способы варьирования ими.

Корректировка модели проводится в таком порядке: глобальные изменения, локальные и параметрические.

1.3.8. Планирование экспериментов с моделью

Цели моделирования достигаются при исследовании разработанной модели путем проведения экспериментов, в результате которых определяются выходные характеристики при различных значениях переменных параметров модели. Эксперименты должны проводиться по определенному плану. Особую важность планирование приобретает при численном и статистическом имитационном моделировании на универсальных вычислительных системах, так как число возможных сочетаний управляемых параметров может быть большим, а каждый машинный эксперимент проводится при определенном сочетании значений параметров. Например, при пяти управляемых параметрах, каждый из которых может имеет три значения, количество сочетаний параметров равно 243, при десяти параметрах (по 5 значений каждого) число сочетаний приближается к 10 млн. При ограниченных временных и вычислительных ресурсах не представляется возможным провести все эксперименты. Возникает необходимость в выборе определенных сочетаний параметров и последовательности проведения экспериментов. Это процедура называется стратегическим планированием.

Разработка плана начинается на ранних этапах создания модели, когда выявляются характерные параметры, с помощью которых предполагается управлять качеством функционирования системы. Эти параметры называют факторами. Затем выделяются возможные значения количественных параметров и варианты качественных параметров - уровни q. При этом число экспериментов

,

где к - число факторов.

Особенно тщательно нужно планировать эксперименты при исследовании нестационарных систем, так как в этом случае требуется избирательное увеличение числа экспериментов.

Методы уменьшения длительности машинного эксперимента при обеспечении достоверности результатов ИМ получили название тактического планирования. На длительность одного эксперимента влияет степень стационарности системы, взаимозависимости характеристик и значения начальных условий моделирования.

Данные, собранные в эксперименте, могут рассматриваться как временные ряды, состоящие из замеров определенных характеристик. Ряд замеров характеристики y может рассматриваться как выборка из стохастической последовательности. Если же последовательность стационарна, ее среднее не зависит от времени. Оценкой является среднее по временному ряду .

Если заданы максимально допустимая ошибка оценки доверительного интервала и минимальная вероятность того, что истинное среднее лежит внутри этого интервала, то существует минимальный размер исследуемой выборки, соответствующий минимальной длительности эксперимента. Для оценки нескольких характеристик период моделирования определяется по максимальному значению. Требуемый размер выборки зависит от дисперсии оцениваемой характеристики. Чем больше , тем больше должен быть размер выборки. Для коррелированных случайных характеристик следует оценивать дисперсию. Существуют специальные методы обработки результатов моделирования, использующие априорную информацию о системе и позволяющие уменьшить размер выборки при сохранении заданной точности оценок. К ним относятся методы коррелированных, стратифицированных выборок и т.д.

Большинство имитационных моделей используются для изучения уже установившихся равновесных режимов функционирования систем, но в начальный период работы системы имеется переходный режим, длительность которого может быть большой. Значения выходных характеристик, измеренных в этот период, смещают их общие оценки.

Существуют три метода уменьшения ошибок начальных условий. Первый состоит в увеличении периода моделирования, т.к. с увеличением числа замеров влияние начального смещения на статистическую оценку стремится к нулю. Второй метод состоит в переносе начала сбора статистики с начального момента времени. Третий метод заключается в задании характеристик и параметров моделей не с “нулевого”, а специально заданного состояния, близкого к установившемуся.

При моделировании нестационарных процессов установившийся режим полностью отсутствует. Естественным методом определения характеристик ИМ нестационарной системы является метод повторных экспериментов, что приводит к особым методам по их планированию.

1.3.9. Анализ результатов моделирования

Анализ результатов моделирования включает несколько этапов.

1. Обработка измерений. При статистическом моделировании измеряются множество значений по каждой выходной характеристике, т.е. выборки, которые необходимо обрабатывать. Обработка случайных характеристик заключается в вычислении оценок математического ожидания, дисперсии и корреляционных моментов. Эти оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Обработку проводят по рекуррентным формулам, чтобы исключить необходимость хранения в памяти ЭВМ результатов всех измерений. Для вероятностных характеристик строятся эмпирические плотности распределений вероятностей в виде гистограмм, для построения которых весь интервал предполагаемых значений характеристики y разбивается на подинтервалы и в ходе измерений определяют число попаданий характеристики в каждый интервал; по полученным данным строится гистограмма распределения, к которой впоследствии можно подобрать и теоретический закон распределения.

Если искомая характеристика является случайной стационарной и эргодичной функцией времени, то для нее вычисление средней оценки по времени заменяется средним по множеству измерений для одного продолжительного эксперимента. Если характеристика нестационарная, то период разбивается на отрезки с постоянным шагом и запоминается значение характеристик в конце каждого отрезка. Проводится серия экспериментов и измерения на каждом отрезке обрабатываются как при оценке случайных величин.

2. Определение зависимостей характеристик от параметров системы. Для получения этих зависимостей используются: корреляционные, дисперсионные или регрессионные методы. С помощью корреляционного анализа устанавливаются связи между случайными величинами, оценкой которых служит коэффициент корреляции при линейной связи между величинами и нормальным законом их совместного распределения. Дисперсионный анализ используется для установления относительного влияния различных факторов на значения выходных характеристик. Методы регрессионного анализа используются, когда можно найти аналитические зависимости между характеристиками и факторами. Регрессионный анализ заключается в том, что выбирается вид соотношений между зависимыми и независимыми переменными, по экспериментальным данным вычисляются параметры выбранной зависимости и оценивается качество аппроксимации экспериментальных данных моделью. Если качество неудовлетворительное, берется зависимость другого вида и процедура повторяется. Анализ результатов моделирования позволяет уточнить множество информативных параметров модели, а впоследствии провести существенное изменение концептуальной модели, а также найти функциональные зависимости характеристик и параметров с последующем созданием аналитической модели системы.

3. Использование результатов моделирования. Результаты моделирования используются в конечном счете для принятия решения о работоспособности системы или для оптимизации системы. Решение о работоспособности принимается по изменению характеристик системы в установленных границах при любых изменениях параметров. Наиболее общей и сложной является задача оптимизации системы: требуется найти такое сочетание значений переменных параметров из множества допустимых, которое максимизирует значение критерия эффективности:

,

при соблюдении ограничений .

Для случайных величин задача оптимизации ставится так:

,

где - максимально допустимая вероятность того, что конкретные значения не выйдут за заданные пределы.

При большом количестве сочетаний параметров поиск оптимального варианта требует использования методов математического программирования.

Контрольные вопросы к разделу 1:

1. Что такое моделирование?

2. Что понимается под словом “модель”?

3. Как выполняется классификация моделей?

4. Каковы основные этапы моделирования?

5. В чем заключается этап постановки целей моделирования?

6. Как строится концептуальная модель системы?

7. В чем состоит подготовка данных для моделирования?

8. Какие математические модели используются при моделировании ВС?

9. Как проводится выбор метода моделирования?

10. Как выбираются средства моделирования?

11. Какие изменения могут вноситься в модель в процессе проверки адекватности и корректировки?

12. В чем заключается обработка и анализ результатов моделирования?

2. Имитационное моделирование вычислительных систем

2.1. Разработка имитационной модели

Имитационное моделирование – это метод исследования, основанный на замене анализируемой динамической системы имитатором и проведении экспериментов над имитатором для получения информации о системе-оригинале. Имитатором чаще всего является специальная программа для реализации которой используется ВС. Таким образом, имитационное моделирование тоже моделирование ВС заключается в разработке программы, имитирующей работу ВС.

В процессе разработки имитационной модели создается математическая модель системы и внешних воздействий, определяются временные изменения состояний системы под влиянием внешних воздействий, формируются выборки значений выходных характеристик и определяются их стохастические оценки. Если моделируется детерминированная система, то выборки значений выходных параметров не делаются.

Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональных взаимосвязей. Модели элементов (обслуживающих приборов) - это, прежде всего, набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к заявкам (входным воздействиям) и правил изменения состояний элемента. Функциональные взаимосвязи определяют возможные пути продвижения заявок от входа к выходу системы.

Модель системы с программным принципом управления - это в основном формализованное описание параллельно протекающих процессов с указанием используемых ресурсов и алгоритмов управления процессами.

Модель внешних воздействий - это правила определения моментов поступления входных сигналов (заявок), маршрута заявок в системе в соответствии с алгоритмами обработок, приоритетами обслуживания, трудоемкостями обслуживания и др.