Последовательность построения эмпирической формулы по результатам эксперимента

1. Имея табличные данные, подбираем эмпирическую формулу, пользуясь таблицей 2.8, для этого:

а) вычисляем значения и для каждой из формул;

б) вычисленные значения сравниваем с табличным значением , которое соответствует значению . Если вычисленного значения в таблице нет, то соответствующее значение находим линейной интерполяцией. Для этого между точками и , где , проводим прямую линию , тогда табличное значение (см. рисунок 4);

в) выбираем ту эмпирическую формулу, для которой меньше по абсолютной величине.

2. Вводя соответствующие новые переменные и (таблица 2.9) сводим к линейной функции и составляем новую таблицу значений и . Если эмпирическая формула подобрана правильно, то новые точки будут располагаться примерно на прямой в системе координат .

_i+1

_i

3. Параметры и находим методом выбранных точек или наименьших квадратов. Для степенной и показательной эмпирической формулы нужно дополнительно найти параметр .

4. Проверяем пригодность найденной эмпирической формулы, вычисляя отклонения .

Пример. Результаты эксперимента представлены в таблице 2.10.

Таблица 2.10

	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8
	0,47	1,09	2,00	3,20	4,69	6,49	8,59	11,00

Задание:

1. По аналитическим критериям подобрать эмпирическую формулу.

2. Найти параметры эмпирической формулы, применяя метод выравнивания, затем метод выбранных точек.

3. Вычислить отклонения эмпирической формулы от табличных данных.

4. Найти параметры эмпирической формулы методом наименьших квадратов

5. Вычислить отклонения эмпирической формулы от табличных данных.

Решение.

1. Подбираем эмпирическую формулу по таблице 2.8.

Для этого вычисляем значения и для всех эмпирических формул (таблица 2.11). Так как значений в данной таблице 2.10 нет, то соответствующие значения находим линейной интерполяцией.

Для линейной и показательной функций имеем .

Для степенной и логарифмической функций имеем

.

Все результаты расчётов сведены в таблицу 2.11.

Таблица 2.11

Вид формулы

Наименьшее отклонение для степенной функции, значит, эмпирическую формулу будем искать в виде .

2. Вводим новые переменные (таблица 2.9) и составляем новую таблицу значений (таблица 2.12).

Таблица 2.12

	-0,92	-0,51	-0,22		0,18	0,34	0,47	0,59
	-0,76	0,09	0,69	1,16	1,55	1,87	2,15	2,40

Систему точек изобразим на координатной плоскости (рисунок 5).

Как видим точки примерно располагаются на прямой. Проведем прямую , «как можно ближе» примыкающую ко всей системе точек .

На прямой линии выбираем две точки , и тщательно замерив их координаты, получим и . Составим систему (2.1)

откуда получим и .

Эмпирическая формула найдена.

3. Отклонения найденной эмпирической формулы от табличных данных представлены в таблице 2.13.

Таблица 2.13

	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8
	0,47	1,09	2,00	3,20	4,69	6,49	8,59	11,00
	0,47	1,10	2,00	3,19	4,66	6,42	8,48	10,93
	0,00	0,01		-0,01	-0,03	-0,07	-0,11	-0,07

4. Для нахождения параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов составим таблицу 2.14.

Таблица 2.14

	-0,92	-0,51	-0,22		0,18	0,34	0,47	0,59
	-0,76	0,09	0,69	1,16	1,55	1,87	2,15	2,4
	0,846	0,260	0,048		0,032	0,116	0,221	0,348
	0,699	-0,046	0,152		0,279	0,636	1,011	1,416

Система (2.2) для нашего случая будет иметь вид

откуда получим .

Таким образом, эмпирическая формула найдена

5. В таблице 2.15 представлены отклонения найденной эмпирической формулы от табличных данных.

Таблица 2.15