Линейная зависимость. Определение параметров методом выбранных точек

Пусть для переменных и известны их значения и , расположенные в порядке возрастания значений в таблице 2.1.

Изобразим точки на координатной плоскости . Если точки располагаются примерно на прямой (рисунок 2), то предполагаем, что зависимость между переменными и линейная, т.е. .

y

Рисунок 2

Но прямая не будет проходить через все данные точки. Остается найти такие значения параметров и , чтобы прямая линия «как можно ближе» примыкала ко всей системе точек. Проводим прямую линию «как можно ближе» примыкающую ко всей системе точек. Выбираем на прямой линии две точки (; ) и (; ) далеко отстоящие друг от друга. Измеряем их координаты , , , и составляем систему . (2.1)

Решая систему (2.1) находим неизвестные параметры и .

Эмпирическая формула найдена.

Этот способ нахождения параметров эмпирической формулы называется методом выбранных точек.

Далее, выясняем пригодность найденной эмпирической формулы. Для этого сравниваем табличные значения с значениями , вычисленными по формуле , и находим отклонения значений эмпирической формулы от табличных данных, т.е. (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Пример. Результаты эксперимента представлены в таблице 2.3. Требуется подобрать эмпирическую формулу для табличных данных и найти параметры методом выбранных точек.

Таблица 2.3

	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
	0,6	1,6	2,6	3,7	5,0	6,1

Решение. 6 точек, с указанными в таблице 3 координатами, изобразим на координатной плоскости Oxy. Как видим, точки располагаются примерно на прямой, поэтому эмпирическую формулу будем искать в виде линейной функции .

Проведём прямую линию «как можно ближе» примыкающую ко всем шести точкам и выберем на прямой линии 2 точки. В качестве первой точки возьмем точку пересечения прямой с осью ординат_, а в качестве второй точки возьмём точку, совпадающую с последней точкой. Замерив координаты выбранных точек и , получим . Составим систему (2.1) откуда получим .

Эмпирическая формула найдена .

Пригодность полученной эмпирической формулы установим, вычислив отклонения значений эмпирической формулы от табличных данных. Результаты вычислений представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4

	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
	0,6	1,6	3,0	3,7	5,0	6,1
	0,6	1,7	2,8	3,9	5,0	6,1
		0,1	-0,2	0,2

Как видим зависимость от не в полной мере описывается линейной функцией, т. к. промежуточные точки отклоняются от прямой. Если такая точность нас устраивает, то мы сохраняем найденную эмпирическую формулу для дальнейшего использования. Если нас такая точность не устраивает, то эмпирическую формулу ищем в виде нелинейной зависимости.

Нетрудно заметить, что метод выбранных точек содержит геометрические построения, замеры координат выбранных точек, допускающие возможность внесения погрешностей. Поэтому этот метод является недостаточно точным и к нему следует прибегать в тех случаях, когда точность исходных данных относительно невелика и не требуется больших точностей в расчетах. В методе наименьших квадратов, который приведен ниже, используется критерий «близости», сформулированный математически.