Индивидуальные и общие индексы. Системы взаимосвязанных индексов

Способы построения индексов зависят от содержания изучае­мого явления, методологии расчета исходных статистических показа­телей и целей исследования. В каждом индексе выделяют 3 элемента: 1) индексируемый показатель - это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс; 2) сравниваемый уровень - это тот уровень, который сравнивают с другим. В индексах, характеризую­щих изменение явлений во времени, его называют отчетным или те­кущим уровнем; 3) базисный уровень - это уровень, с которым произ­водится сравнение. Для расчета индекса необходимо найти отноше­ние сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэф­фициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в про­центах, если база сравнения принимается за 100%.

В форме коэффициентов расчеты индексов производятся обычно с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0, 001, в форме процентов - до десятых долей процента, т. е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

i - с подстрочным значком - символом индексируемого показа­теля - индекс, характеризующий изменение уровня одного элемента явления;

I - с подстрочным значком индексируемого показателя - для группы элементов или всей совокупности в целом;

q - количество проданных товаров или произведенной продук­ции в натуральном выражении (физический объем товарооборота или продукции);

р - цена за единицу товара или продукции;

z - себестоимость единицы продукции;

w - производительность труда;

T - отработанное время или численность работников;

l - средняя заработная плата одного работника и др.

Базисные показатели в статистике принято обозначать симво­лом 0, а сравниваемые - 1.

Например, имеем следующие данные по торговой фирме "Электроника" (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Исходные данные	Расчетные данные
Товары	Базисный период	Отчетный период	Товарооборот, млн. руб.	Индивидуальные индексы
Продано, тыс. шт.	Цена за 1 шт., тыс. руб.	Продано, тыс. шт.	Цена за 1 шт., тыс. руб.	Базисный период	Отчетный период	Отчетный период по ценам базисного периода	Физического объема товарооборота	Цен	Товарооборота
					5=2x1	6=4x3	7=2x3	8=3:1	9=4:2	10=6:5
Телевизоры				3,3				0,9	1,1	0,99
Видеомагнитофоны				1,8				1,25	0,9	1,125
Итого	х	х	х	х				0,9875	1,037	1,024

Введем в таблицу символы: - в гр. 1, - в гр. 3, в гр. 2, - в гр. 4. Затем рассчитаем показатели товарооборота: в базисном периоде - в гр. 5, в отчетном периоде - - в гр. 6, в отчетном периоде по ценам базисного периода - - в гр. 7.

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного элемента явления. Так, для изучения изменения количества проданных товаров каждого вида в отчетном периоде по сравнению с базис­ным, т. е. физического объема продаж, следует построить индивидуальный индекс физического объема товарооборота как отношение количества товара одного вида, проданного в отчетном периоде, к количеству того же товара, проданного в базисном периоде, т. е. по формуле:

.

Поскольку базисный уровень индексируемого пока­зателя приравнивается к 1 или 100%, то разность между полученным индексом и 1 или 100% характеризует относительную величину из­менения количества проданного товара. По этому индексу можно оп­ределить и абсолютное изменение количества проданного товара в натуральном выражении как разность между числителем и знамена­телем индекса:

.

Произведем расчет индивидуальных ин­дексов физического объема товарооборота в гр. 8:

По телевизорам: , или 90%; тыс. шт., т. е. в отчетном периоде по сравнению с базисным было продано телевизоров на 40 тыс. штук, или на10% меньше (90% - 100%), чем в базисном году.

По видеомагнитофонам: или 125%, тыс. шт., т. е. количество проданных видеомаг­нитофонов возросло на 50 тыс. штук, или на 25% (125% - 100%).

Индивидуальный индекс цен определяется как отношение цены отдельного товара в отчетном периоде к его цене в базисном периоде, т. е. по формуле:

.

Разность между числителем и знаменателем показывает абсолютное изменение цены за единицу товара в абсолютных единицах (рублях):

.

Рассчитаем индивидуальные индексы цен в гр. 9:

По телевизорам: , или 110%; тыс. руб., т. е. цена телевизора увеличилась на 0,3 тыс. руб., или на 10% (110% - 100%).

По видеомагнитофонам: , или 90%; тыс. руб., т. е. цена видеомагнитофона снизилась на 0,2 тыс. руб., или на 10% (90% - 100%).

Индивидуальный индекс товарооборота характеризует измене­ние товарооборота по одному товару и строится как отношение това­рооборота отчетного периода к товарообороту базисного перио­да , т. е. по формуле:

.

Разница между числителем и знаменателем показывает абсолютное изменение товарооборота в рублях за счет двух факторов: изменения количества проданного то­вара и изменения цены этого товара, т. е.:

.

Рассчитаем индивидуальные индексы товарооборота в гр. 10:

По телевизорам: , или 99%; млн. руб., т. е. товарооборот по телевизорам стал меньше на 12 млн. руб., или на 1% (99% - 100%).

По видеомагнитофонам: , или 125%; млн. руб., т. е. товарооборот по видеомагнитофонам увеличился на 50 млн. руб., или на 25% (125% - 100%).

Рассмотренные индивидуальные индексы взаимосвязаны между собой так же, как сами индексируемые показатели: индекс то­варооборота равен произведению индекса физического объема това­рооборота на индекс цен, т. е.

.

Проверим взаимосвязь исчисленных индивидуальных индексов:

По телевизорам: .

По видеомагнитофонам: .

Кроме того, полученные данные позволяют рассчитать абсо­лютные показатели изменения товарооборота по отдельным товарам за счет отдельных факторов. В самом деле:

.

Так, по телевизорам общее изменение товарооборота составило:

млн. руб.,

т. е. товарооборот по телевизо­рам в отчетном периоде по сравнению с базисным стал меньше на 12 млн. руб. Эта величина может быть разложена на две:

1) за счет изменения количества проданных товаров:

млн. руб.,

т. е. за счет уменьшения ко­личества проданных телевизоров на 40 тыс. штук товарооборот стал меньше на 120 млн. руб.;

2) за счет изменения цен:

млн. руб.,

т. е. за счет роста цены одного телевизора на 0,3 тыс. руб. товарооборот возрос на 108 млн. руб.

Проверим взаимосвязь исчисленных показателей: млн. руб.

По видеомагнитофонам имеем:

млн. руб., млн. руб.,

млн. руб.

Взаимосвязь: млн. руб.

Товарооборот по видеомагнитофонам увеличился на 50 млн. руб. За счет увеличения количества проданных видеомагнитофонов на 50 тыс. штук товарооборот возрос на 100 млн. руб., а за счет сни­жения цен на видеомагнитофоны на 0,2 тыс. руб. за штуку он стал меньше на 50 млн. руб.

Все рассмотренные нами индексы характеризуют относитель­ное изменение уровней отдельных элементов явления и называются индивидуальными индексами.

Однако большинство изучаемых статистикой общественных явлений и процессов состоят из многих элементов, которые могут быть как однородными, так и неоднородными. Однородные явления можно непосредственно суммировать и исчислять индексы, характеризующие изменение не одного элемента, а группы элементов или всей совокупности в целом. Такие индексы называются общими индексами. Так, можно суммировать количество проданных однородных товаров по группе фирм и исчислить общий индекс физического объема товарооборота по формуле:

,

где знак означает суммирование данных о количестве одного товара по нескольким фирмам.

Можно суммировать товарооборот по нескольким товарам и исчислить общий индекс товарооборота по формуле:

,

где знак означает суммирование товарооборота по группе това­ров.

Если же отдельные элементы явления неоднородны, то непо­средственное суммирование их невозможно или бессмысленно и то­гда необходимо привести их к сопоставимому виду. Все товары име­ют стоимость, а стоимости товаров можно суммировать. Переход от натуральных показателей к стоимостным показателям позволяет преодолеть невозможность суммирования натурально-вещественных элементов совокупности. Но изменение стоимости товаров обусловлено совместным изменением двух факторов - количества товаров и цен на них, а нам необходимо определить изменение каждого из этих факторов в отдельности. Для изучения изменения одного фактора необходимо абстрагироваться от изменения второго, взаимосвязанного с ним фактора и построить об­щий индекс в агрегатной форме.

Так, агрегатный индекс физического объема товарооборота должен показать изменение количества проданных разнородных то­варов, поэтому в числителе его берется отчетное количество товаров , а в знаменателе - базисное , т. е. индексируемый показатель изменяется, а взвешивание производится в одних и тех же ценах ба­зисного периода :

.

В числителе этого индекса - условная величина товарооборота отчетного периода в ценах базисного периода, в знаменателе - реальная величина товарооборота базисного периода. Разность между числителем и знаменателем индекса пока­жет абсолютное изменение товарооборота за счет изменения физического объема товарооборота:

.

Рассчитаем агрегатный индекс физического объема товарооборота по данным нашего примера

, или 98,75%

и

млн. руб.,

т. е. ко­личество проданных магазином товаров в среднем стало меньше на 1,25% (98,75% - 100%), что привело к уменьшению товарооборота на 20 млн. руб.

Агрегатные индексы качественных показателей строятся при весах - объемных показателях отчетного периода. Так, агрегатный индекс цен строится по формуле немецкого экономиста Э. Пааше:

.

В числителе этого индекса - товарооборот отчетного периода, в знаменателе - товарооборот отчетного периода в ценах базисного периода, а разность между ними характеризует: с позиции продавца - абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен, с позиции покупателя - экономию (перерасход) населения от из­менения цен на товары:

.

Рассчитаем агрегатный индекс цен по данным нашего примера:

или 103,7%

и

млн. руб.,

т. е. в сред­нем цены на товары возросли на 3,7% (103,7% - 100%), что привело к росту товарооборота на 58 млн. руб.

В качестве весов в индексах качественных показателей могут быть использованы не только абсолютные объемные показатели, но и показатели их структуры, т. е. доли.

В статистической практике используется также индекс цен, по­строенный с базисными весами по формуле Э. Ласпейреса

.

Агрегатный индекс товарооборота исчисляется по формуле

.

Разность между числителем и знаменателем этого индекса характеризует абсолютное изменение товарооборота за счет двух факторов: изменения количества проданных товаров и цен на них:

млн. руб.,

Для нашего примера:

или 102,4%

и

млн. руб.,

т. е. товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 38 млн. руб., или на 2,4%.

Агрегатные индексы объемных и качественных показателей, построенные с различными весами, взаимосвязаны между собой так же, как индивидуальные индексы: произведение агрегатного индекса физического объема товарооборота на агрегатный индекс цен (по формуле Э. Пааше) дает агрегатный индекс товарооборота

.

Мы получили систему взаимосвязанных агрегатных индексов, каждый из которых позволяет определить изменение индексируемого показателя в относительном выражении (в кратных отношениях или в %). Кроме того, по этим ин­дексам можно определить изменение обобщающего показателя - то­варооборота за счет отдельных факторов в абсолютном выражении (руб.) как разность между числителем и знаменателем соответствую­щего индекса. Абсолютные показатели изменения товарооборота за счет отдельных факторов взаимосвязаны следующим образом:

,

т. е.

.

Проверим взаимосвязь показателей, исчисленных по данным нашего примера:

1) агрегатных индексов:

, ;

2) абсолютных изменений:

млн. руб.

Аналогичным образом строятся системы агрегатных индексов других экономических показателей.