Правило сложения дисперсий

Для оценки влияния факторов, определяющих вариацию, используют прием группировки: совокупность разбивают на группы, выбрав в качестве группировочного признака один из определяющих факторов. Тогда наряду с общей дисперсией, рассчитанной по всей совокупности, вычисляют внутригрупповую дисперсию (или среднюю из групповых) и межгрупповую дисперсию (или дисперсию групповых средних).

Общая дисперсия характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий (рассчитывается по формулам (7) или (8)).

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:

, (16)

где - групповые средние;

- численность единиц i -й группы.

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся под влиянием других, неучтенных в данном иссле­довании факторов, и не зависящую от фактора группировки. Она оп­ределяется как средняя из групповых дисперсий:

, (17)

где - дисперсия i -й группы.

Все три дисперсии связаны между собой следующим равенством, которое известно как правило сложения диспер­сий:

. (18)

На этом соотношении строятся показатели, оценивающие влияние признака группировки на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирический коэффициент детерминации характеризует долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии:

, (19)

и показывает, насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется по формуле:

(20)

и оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Предельными значениями являются нуль и единица. Чем ближе к единице, тем теснее связь.

Пример. Стоимость 1 кв. м общей площади (в усл. ед.) на рынке жилья по десяти 17-этажным домам улучшенной планировки состав­ляла (табл. 8.2):

Таблица 8.1

№ п/п	Стоимость 1 кв. м общей площади, у.е.	№ п/п	Стоимость 1 кв. м общей площади, у.е.	№ п/п	Стоимость 1 кв. м общей площади, у.е.

При этом известно, что первые пять домов были построены вблизи делового центра, а остальные - на значительном расстоянии от него.

Для расчета общей дисперсии вычислим среднюю стоимость 1 кв. м общей площади:

усл. ед.

Общую дисперсию определим по формуле (8):

.

Вычислим среднюю стоимость 1 кв. м и дисперсию по этому показателю для каждой группы домов, отличающихся месторасположением относительно центра города:

а) для домов, построенных вблизи центра

у.е., ;

б) для домов, построенных далеко от центра

у.е., .

Вариация стоимости 1 кв. м общей площади, вызванная изме­нением месторасположения домов, определяется величиной межгрупповой дисперсии:

.

Вариация стоимости 1 кв. м общей площади, обусловленная изменением остальных неучтенных нами показателей, измеряется величиной внутригрупповой дисперсии:

.

Найденные дисперсии в сумме дают величину общей диспер­сии:

.

Эмпирический коэффициент детерминации

, или 81,8%

показывает, что дисперсия стоимости 1 кв. м общей площади на рын­ке жилья на 81,8% объясняется различиями в расположении ново­строек по отношению к деловому центру и на 18,2% - другими фак­торами.

Эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о существенном влиянии на стоимость жилья место­расположения домов.

Правило сложения дисперсий для доли признака записывается так:

,

а три вида дисперсий доли для сгруппированных данных определяются по следующим формулам:

общая дисперсия

,

где ; - доля признака в i - й группе; - численность единиц отдельных групп;

межгрупповая дисперсия

;

внутригрупповая дисперсия

.