Линейные отображения. Определение, примеры, простейшие свойства

Азн. 8.1. Пусть V, U -линейные пространства над P. Отображение f: V→U (1) называется линейным (гомоморфизмом линейная пространства), когда 1) ; 2) .

Примеры: 1. V =R², U =R₁[x], f: V U: . 2. Поворот плоскости кругом пункта О.

3. Нулевое отображение f: . 4. Тождественное преобразование

Св-во 8.2. Когда f: V U - линейное отображение, тогда: 1) ; 2) V ; 3) P, V . Доказательство. 1) .
2) . 3) ММИ по n. 1) n=1 – это 8.1.2.
2) n=2 . Если св-во справедливо для n, то

■

Теорема 8.3. (Критерий линейности отображения) V, U -линейные пространства над P. Отображение f: V→U является линейным тогда и только тогда, когда P, V (2)

Доказательство. 1) Когда f - линейное, тогда (2) следует из 8.2.3. 2) Пусть исполняется (2), возьмем , тогда , значиться исполняется 8.1.1. Возьмем : (по 8.2.1), значит исполняется 8.1.2. Таким образом, f - линейное отображение. ■

Теорема 8.4. V, U -линейные пространства над P. dim V =n, - произвольный базис V. Задание линейного отображения эквивалентно заданию образов элементов базиса , ,..., . Доказательство. 1) Когда задана линейное отображение, тогда задан .

2) Пусть заданный . Надо задать линейное отображение. определяется в виде (поскольку - базис). Укажем отображение .

Докажем, что F - линейное отображение, и . Начнем доказательство из конца. , , , . Докажем, что F - линейное. Проверим 8.3. Для произвольных векторов и скаляров , , . ■