Матрица перехода от базиса к базису

Опр. 6.4. Пусть (1) и , ,…, (4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)

Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А =() - матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В =(), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i = j, тогда , а когда i ≠ j, j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B = Е_n. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные. ■

Вывод. 6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B = Е_n (5) – единичная матрица, значит, что В=А^–1, А=В^–1. ■

Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда C = A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть и эти векторы имеют столбцы координат C, Y. Тогда , значит, , и C = A×Y. ■

Следствие 6.8. (1) и (4) – базис. А – матрица перехода от (1) к (4), Х,Y – координаты векторов в базисах (1) и (4) соответственно, тогда Y=A^–1X. Доказательство. В 6.7. доказано, что C = A×Y. Умножим слева на A^–1. ■

Пример 6.9: Старый базис: , . Новый базис: = +2 , =3 +4 . в , .

в , где Т – матрица перехода от старого к новому базису. .

система векторов линейно зависима.■

Теорема 6.10. Пусть (1) – базис пространства V, (4) – сістема векторов пространства V, которое в базисе (1) имеет матрицу А. Тогда система векторов (4) является базисом пространства V, значит, когда матрица А невырожденная, (4) – базис, то .

Доказательство. Если (4) – базис, то доказано в 6.5. Пусть . В (4) столько векторов, какова размерность пространства. Если докажем, что (4) – лин. независ., то по 5.9. докажем, что (4)-базис. . По определению матрицы системы векторов .