 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Метод введения топологии с помощью базы
|
|
Если 
Утв.1 Пусть x – непустое мн-во β -семейств.
Подмн-во мн-ва x, удовл. усл.
В1) Uβ=xu
В2) 
V1, V2 
β и x 
V1 ∩ V2 ∃ U β | x V ⊆ V1 ∩ V2
тогда ∃ единственная топология 
на мн-ве X, такая что β является базой пр-ва (x, )
□ Рассм. семейство опр. по правилу:
∅ , U ó x U ∃ U β | x V ⊆ U
Покажем, что - топология на X.
□ 01) ∅ , x (Из В1)
02) Покажем, что пересечение конечн. совокуп. мн-в из принадл.
(□ индук. по числу n мн-в пересек. совокупн.)
n=1 – выполн.
Пусть утв. верно для сов-тей с числом мн-в n=2. Покажем, что оно верно для совокуп. с числ. n=k+1
Пусть U=U1∩…∩Uk+1, где Ui , i=1,k+1
Обозн. U*= U1∩…∩Uk, U*
U= U* ∩ Uk+1 , пусть x U ∃ V1 β | λ U1 ⊆ U*
∃ V2 β| x U2 ⊆ Uk+1
∃ U β| x U ⊆ V1∩ V2, V ⊆ U => U
03)Пусть U=VUt, где где t Ut 
Покажем, что U , рассмотрим т.к. ∃ t0 | x U0
∃V β|| x V ⊆ U0 V ⊆ U ▪
β – база пр-ва (x, )
Лемма: Пусть даны т.п. 
, x= 
Семейство βn подмн-в мн-ва x, сост. Из всех мн-в вида 
, где i=1,n Ui⊆xi
удл. Условиям B1, B2.
□B1: 
βn
B2: 
βn 
βn
= 
βn ▪
23 Определение топологии произведения топологических пространств. Теорема о метричности этой топологии. Примеры.
Опр.
Пусть даны т.п. 
, x= 
Топологией произведения на Х наз. топология r базу которой образует сем-во βn
Утв.
Пусть – т.п. x= Если каждое из пр-в x: метризуемо метрикой p, то х метриз. метрикой p(x,y)=max pi(xi,yi)
x=
y= 
□ 1)покажем, что p-метрика
М1), М2) очевидно
М3) p(x,y) ≤p(x,z)+p(z,y)
i=1,n pi(xi,yi) ≤pi(xi,ei)+pi(zi,yi) ≤p(x,z)+p(z,y)
p(x,y) ≤p(x,z)+p(z,y)
2)Вид шара, пусть a=(ai…ak) X, ε>0
x=(x1…xn) βp(a, ε) ó p(a,x)< ε ó
ó 
β(a, ε)= βp1(a1, ε)*… βpn(an, ε)
Вывод: a X, ε>0 βp(a, ε) 
βn
3)Покажем, что P= n пок. p
пусть G P, когда a G ∃ εa>0 | βp (a, εa) G,
Т.к. все βp (a, εa) βn и G= ∪ βp(a, ε0) G n
Покажем n ⊆ P, пусть G p, рассм. a=(a1…an) G ∃ 
| a 
⊆ G
Ui⊆xi i=1,n i=1,n ∃ εi>0| βp(ai, εi) ⊆ Ui
ε=min{ε1…εn}, тогда βp(a, ε)= 
⊆ 
⊆G▪
Примеры:
1)На ℝn= 
n= n μ(x,y)=max|xi-yi|
n(из утв.2) μ~d=> n= n
2)В ℝn рассм. фигуры
П: 
Где ai<bi i=1,n
П= 
Топология произведения на П сов. с топ., из ℝn
24 Сходимость последовательностей в произведении топологических пространств.
Утв. Пусть x= , где -т.п. λ=(x1…xn) X (X(k))k=1 послед. в х-точек, х(к)=(х1(к) … хn(k))
x(k)a-> x в x ó i=1,n xi(k)->xi в xi
□=>)fix i ≤ n Рассм. окр. U топ. xi в Xi
Рассм. G= 
- опр. точки х в Х
∃ p ℕ | k ≥ p x(k) G Тогда k≥p x1(k) 
<=)Рассмотрим окр. G= точки х в Х
i=1,n ∃ pi ℕ | k≥pi xi(k) Ui
Пусть p=max {p1…pn}; k≥p x(k) G ▪
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 230 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
