Хаусдорфовы пр-ва

Определение. Т. П. Х наз. хаусдорфовым если у любых двух различных точек этого пространства существуют непересекающиеся окрестности.

Теорема. Любое метризуемое Т. П. Х – хаусдорфово. Кроме того у любых 2-ух не пересекающихся замкнутых под-тв метризуемого про-ва Х существуют непересекающиеся окрестности.

□Пусть ρ- метрика, согл. с топологией пр-ва Х:

1)Хаусдорфовость. Рассмотрим х,у € Х, х≠у. Пусть r=ρ(х,у) Покажем что (х, )∩ (у, )=Ø

От противного: Допустим существует z € (х, )∩ (у, ); ρ(х,у)≤ ρ(х,z)+ ρ(z,у)<r; r<r WTF!?

2)Пусть F замкн-ое под-во Х, Φ замкн под-во Х, F∩Φ= Ø,для любого х€F, существует >0 такое то (х, )∩Φ= Ø и существует >0 такое что (у, )∩F= Ø Пусть U= , V= ; F под-во U,U открытое под-во Х; Φ под-во V,V открытое под-во Х. Покажем что U∩V= Ø.От противного: Допустим существует z € U∩V => сущ x € F и y € Φ такие что z€ ∩ . Пусть тогда ρ(х,у)≤ ρ(х,z)+ ρ(z,у)≤ + ≤ ; ρ(х,у)≤ ; х € )!?█

Замечание: 1)Т.П. Х наз. -про-вом если для любого х€Х,{x} замкн в Х, любое хаусдорфаво пр-во есть пр-во.

2)Т.П. Х наз. нормальным если Х есть про-во и в любых 2-ух не пересекающихся замкнутых под-ств Х существует не пересек. окрестн. Любое метризуемое про-во не только хаусдорфово, но и нормальное.