Сравнение метрических топологий. Критерий топологической эквивалентности метрик

Утверждение: пусть ρ₁ и ρ₂ – метрики на множестве Х, тогда последовательности (x_n) от n=1 до n= точек Х из ρ₁ (х_n, x) 0 ρ₂ (х_n, x)⟶0 пусть ρ₁ (х_n, x) 0, fix рассмотрим шар

ρ₁ (х_n, x) 0 ρ₁(х_n, x)< так как x_n x_n ρ₂ (х_n, x)<

пусть U Покажем, что U ∈ От противного: допустим, U ; не (на х, т.е. ρ₂(х_n, x) не ?!

Следствие: метрики ρ₁ и ρ₂ на множестве Х порождают одну топологию (х_n) от n=1 до n= в Х условия ρ₁ (х_n, x) 0 и ρ₂(х_n, x) равносильны.

16. Непрерывное отображение топологических множеств. Определения. Примеры. Теорема о непрерывности композиции

Опр непрерывного отображения

Пусть (Х,τ₁) и (Y,τ₂) – Т.П. Отображение F: Х—>Y называют непрерывным в т. хϵ Х, если для любой окрестности U точки f(x) Ǝ окрестность V точки х ǀ f(V)c_ U. Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке. Множество всех отображений из X в Y обозначатся C(X,Y). Если Y=R, то С(Х).

Замечание Пусть (Х,ρ₁) и (Y,ρ₂) – М.П. F: Х—>Y - непрерывно в т. хϵ Х ó для любого ε>0 Ǝ δ>0ǀ f(B_ρ1(x,δ)) c_ B_ρ2(f(x),ε) или: f - непрерывно в х ó для любого ε>0 Ǝ δ>0ǀ для любого x’ ϵ X удовл. усл. Ρ₁(х,x’)<δ выполн ρ₂(f(x), f(x’))<ε

Примеры: 1) f:R —>R; f(x)=cos x

2) f:R —>R; f(x)=sin x

3)f:]0;+∞[ —>R; f(x)= ln x

4) Пусть X,Y – Т.П. y₀ ϵY; Рассм F: Х—>Y, для любого xϵX f(x)= y₀; F – непрерывно

Непрерывность композиции

Утв1 Пуcть X,Y,Z – Т.П.; f: Х—>Y, g:Y—>Z – непрерывные отображения. Тогда g◦f:X—>Z – непрерывна.

▫ Рассмотрим для любой т. xϵX и для любой окрестности U точки(g◦f)(х) Ǝ окрестность V точки f(x) ǀg(V)c_U; Ǝ окресн W точки хǀf(W)c_V => g◦f(W)c_U ▪(конец)