Моделирования (метод Монте-Карло)

Сущность метода сводится к построению некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов реальной системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Теоретическая основа метода - предельные теоремы теории вероятностей. Т.е. множество случайных явлений подчиняются определенным закономерностям, которые позволяют не только прогнозировать поведение системы, но и количественно оценивать некоторые средние характеристики, которые проявляют определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются и в распределении случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются т.н. предельные теоремы теории вероятностей. Принципиальное значение их состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) n.

Теоремы:

1) неравенство Чебышева;

2) теорема Бернулли;

3) теорема Пуассона;

4) теорема Чебышева;

5) обобщенная теорема Чебышева;

6) теорема Маркова;

7) центральная предельная теорема теории вероятностей.

Существует 2 области применения метода статистических испытаний:

1) для решения детерминированных задач (детерминированная область);

2) для решения стохастических задач.

Основная идея детерминированного подхода заключается в том, что детерминированная задача заменяется эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой совпадают с результатами решения детерминированной задачи. При такой замене вместо точного решения получают приближенное, погрешность которого уменьшается с увеличением числа испытаний, или числа реализаций N.

В результате стохастического моделирования системы получается серия частотных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получать сведения о поведении реального объекта (или процесса) в произвольный момент времени, и при достаточно большом N (число реализаций) вероятностные оценки приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса принятия решений.

Пример:

1) необходимо найти площадь под кривой f(x)

S_i

f(x)

1 B

A

C

0 Dx 1 x

0 £ f(x) £ 1, 0 £ x £ 1

_{n n}

S_OAB1 = å S_i = 1/n å f(x_i) (8.1)

^{i=1 i=1}

S_i = Dx×f(x_i), Dx = 1/n

2) необходимо найти площадь под кривой f(x)

y f(x)

1 B

A

C

0 1

Пусть имеется x - случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0,1]. Это значит, что вероятность попадания ее возможных значений на любой интервал AB Î [0,1] пропорциональна длине отрезка и не зависит, где на [0,1] находится этот отрезок. И если возможные значения X, равномерно распределенной случайной величины x, заполняют отрезок [0,1] на оси X и возможные значения Y случайной величины h - на оси Y, то пара чисел (X,Y) определяет случайную точку с координатами (X,Y) на плоскости X0Y, имеющей координаты (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). А это значит, что вероятность попадания точки (X,Y) на площадку s зависит только от величины этой площадки и не зависит, где она находится внутри единичного квадранта.

Проведем опыт, который будет состоять в бросании точек в единичный квадрант (N ® ¥).

P = S_OAB1/S_01B1 = m/n

S_OAB1 = m/n (8.2),

где m - количество точек, попавших под кривую.