Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два противоположных направления. Выберем одно из направлений и масштабную единицу для измерения длин отрезков.
Определение. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В.
Определение. Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из этих точек считается началом, а какая – концом отрезка.
Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим и будем считать, что он направлен от начала отрезка к концу. Нулевыми направленными отрезками будем называть те, у которых начало и конец совпадают. Длина направленного отрезка обозначается или .
Для направленных отрезков, лежащих на оси (или на параллельных осях), вводится понятие величины направленного отрезка.
Определение. Величиной АВ направленного отрезка называется число, равное , если направления отрезка и оси совпадают, и , если эти направления противоположны.
Величины направленных отрезков и при любом направлении оси отличаются знаками.
Если точки А и В совпадают, то величина направленного отрезка считается равной нулю.
Определение. Два ненулевых направленных отрезка называются равными, если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются равными.
Над направленными отрезками определены следующие операции - операция сложения и умножения на число.
|
Теорема. Величина суммы направленных отрезков равна сумме величин слагаемых отрезков.
Доказательство. Пусть хотя бы один из отрезков и является нулевым, то в этом случае сумма совпадает с другим отрезком и утверждение теоремы справедливо. Если оба отрезка ненулевые, то при совмещении начала отрезка с концом отрезка получим, что . Рассмотрим случай, когда оба отрезка и направлены в одну сторону. В этом случае длина отрезка равна сумме длин отрезков и , причем направление совпадает с направлением каждого из отрезков и . Поэтому справедливо равенство . Рассмотрим случай, когда отрезки и направлены в противоположные стороны. В этом случае величины отрезков и имеют разные знаки, поэтому . Направление отрезка совпадает с направлением наибольшего по длине из отрезков и , следовательно, знак величины отрезка совпадает со знаком числа , т. е. справедливо равенство . Теорема доказана.
Основное тождество. Для любых трех точек А, В, С, расположенных на оси, величины направленных отрезков , и удовлетворяют соотношению .
Это тождество следует из доказанной выше теоремы.
Определение. Произведением направленного отрезка на число a называется направленный отрезок, обозначаемый , длина которого равна произведению числа на длину отрезка и направление которого совпадает с направлением отрезка при и противоположно направлению при .
Рассмотрим произвольную прямую, на которой выбрано направление и некоторая точка О, называемая началом координат.
Определение. Прямая с выбранным направлением, масштабной единицей и началом координат называется координатной осью.
Пусть М – произвольная точка на выбранной прямой.
Точке М поставим в соответствие число х, равное величине ОМ направленного отрезка . Число х называется координатой точки М.
Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Верно и обратное утверждение: любому вещественному числу х соответствует некоторая точка М на координатной прямой, координата которой равна х. Следовательно, вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной прямой часто указывают число – ее координату.
|
|
Пусть точка М1 имеет координату х1, а точка М2 – координату х2.
Выразим величину М1М2 направленного отрезка через координаты точек М1 и М2. Согласно основному тождеству ОМ1 + М1М2 = ОМ2. Тогда М1М2 = ОМ2 - ОМ1, но ОМ1 = х1, ОМ2 = х2, поэтому М1М2 = х2 – х1.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 693 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!