Абсолютная величина числа

Определение. Абсолютной величиной ( или модулем) числа х называется само число , если , число (- ), если .

Абсолютная величина числа обозначается . Таким образом, , если , и , если .

Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.

1. . Доказательство. Если , то . Если , то , но , т. е. .

2. . Доказательство. Если , то и тогда . Если , то , и тогда .

3. . Доказательство. Если , то , . Отсюда , т. е. . Если , то , откуда . Так как , то , или , откуда , т. е. . Поэтому |. Получаем, что .

Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенства и равносильны. ((" e, e > 0: |х| £ e) Û (- e £ х £ e)).

Доказательство. Пусть . Если , то , поэтому , таким образом, . Если , то , следовательно, , откуда . Объединяя неравенства и , получаем, что , .

Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенства и . Из последнего неравенства следует, что . По определению, есть либо , либо , поэтому .

Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Пусть , – произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства: , . Поэтому, складывая эти неравенства, получаем . По предыдущей теореме это равносильно неравенству .

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Для любых чисел и : . По предыдущей теореме . Поэтому .

Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и , если . Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.