Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины по определенному правилу соответствует одно возможное случайной величины , то называют функцией случайного аргумента и записывают .

Пусть - дискретная случайная величина и имеет закон распределения

, .

Если функция строго монотонна, тогда различным значениям переменной будут соответствовать различные значения , причем возможные значения будут находиться из равенства , где возможные значения . Отсюда - также дискретная случайная величина с законом распределения , .

Если немонотонная функция, то различным значениям могут соответствовать одинаковые значения . В этом случае для отыскания вероятности возможного значения следует сложить вероятности тех возможных значений , при которых принимает одно и то же значение .

Числовые характеристики дискретной случайной величины определяются по следующим формулам:

, (66)

. (67)

Пусть аргумент непрерывная случайная величина с плотностью распределения .

Если функция строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в области возможных значений случайной величины , то она имеет обратную функцию . В этом случае плотность распределения вероятностей случайной величины определяется по формуле

. (68)

Если функция в области возможных значений случайной величины немонотонна, то обратная функция неоднозначна. В этом случае находят плотность распределения для каждого из интервалов монотонности и представляют в виде суммы на данных интервалах

. (69)

Для нахождения числовых характеристик непрерывной случайной величины достаточно знать закон распределения аргумента :

, (70)

. (71)

Пример 58. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	0,4	0,1	0,5

Табл. 8

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Функция является строго монотонной на всей числовой оси. Различным значениям будут соответствовать различные значения . Найдем их: . Отсюда ряд распределения случайной величины :

	0,4	0,1	0,5

	-2	-1
	0,1	0,3	0,2	0,4

Пример 59. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Функция не является монотонной на интервале изменения аргумента . Поэтому различным значениям могут соответствовать одинаковые значения . Например, для и получаются одинаковые значения : . Также для и имеем .

Отсюда, используя теорему сложения вероятностей, вычислим вероятности:

0,5,

0,5.

Тогда закон распределения имеет вид

	0,5	0,5

Пример 60. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Табл. 9

	0,1	0,2	0,2	0,5

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Функция монотонна. Найдем возможные различные значения дискретной случайной величины :

.

По формулам (66), (67) находим искомые числовые характеристики :

5,2;

4,36.

Пример 61. Имеются две случайные величины и , связанные соотношением . Числовые характеристики случайной величины заданы: -1, 4. Найти:

1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2. Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и .

Решение. 1. Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, найдем

5;

36.

2. Ковариацию и вычислим по формуле .

Значения и уже известны. Найдем :

.

Воспользуемся формулой для определения

5.

Отсюда -17. Тогда ковариация случайных величин и : -12.

Коэффициент корреляции случайных величин и найдем по формуле

-1,

что подтверждается исходной функциональной линейной зависимостью между величинами и .

Пример 62. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как функция всюду дифференцируема и строго возрастает, то для нахождения плотности распределения применима формула (68), где функция, обратная к функции . Найдем . Разрешая уравнение относительно переменной , получаем . Таким образом = . Далее определим на интервале (1,3).

Вычислим производную и ее модуль .

Плотность распределения на интервале (1,3) определится по формуле (68)

.

Поскольку при изменении от 1 до 3 переменная варьируется от 3 до 9, то в итоге искомая плотность распределения запишется

Пример 63. Случайная величина распределена по закону

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Вначале найдем параметр . Пользуясь свойством плотности распределения , находим

.

Таким образом, на интервале (1,2) плотность .

Вычисляем математическое ожидание по формуле (70) с учетом того, что вне интервала (1,2) плотность

.

Далее найдем второй начальный момент величины

.

В заключении определяем дисперсию по формуле (71)

.