Закон больших чисел и предельные теоремы

При некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Для доказательства теорем используют следующие неравенства.

Неравенство Маркова: если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание , то для любого положительного числа верно неравенство

. (56)

Так как события и являются противоположными, то верна другая форма неравенства Маркова

. (57)

Неравенство Чебышева: для любой случайной величины , имеющей о математическое ожидание и дисперсию справедливо неравенство

, (58)

где любое положительное число.

С учетом того, что события и являются противоположными последнее неравенство можно записать в другой форме

. (59)

Теорема Пуассона: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний, в которых событие появляется с вероятностями , относительная частота события сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, т.е.

, (60)

где сколь угодно малое положительное число.

Теорема Чебышева: если дисперсии попарно независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , т.е.

. (61)

Теорема Бернулли: если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то при неограниченном увеличении числа относительная частота события сходится по вероятности к числу , т.е.

. (62)

При некоторых условиях совокупное действие большого числа случайных величин приводит к нормальному закону распределения их сумм. Группа теорем, посвященная установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения, получила название центральной предельной теоремы.

Теорема Ляпунова: если - попарно независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , в частности

, (63)

где функция Лапласа (приложение 2).

Теорема Муавра-Лапласа: если в каждом из независимых испытаний событие появляется с вероятностью , то

, (64)

где число появлений события в опытах, а .

Если конечное то для вычисления числа появлений в опытах события используется приближенная формула

, (65)

где .

Пример 52. Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Определить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не более 175 см.

Решение. Обозначим через количество осадков, выпадающих в данной местности в течение года. Тогда по условию задачи 55. Используем неравенство Маркова (56), в котором 175

0,31.

Таким образом, вероятность того, что в этой местности осадков в течение года выпадет не более 175 см., не превышает 0,31.

Пример 53. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 12 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Решение. Пусть размер случайного вклада, а число вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада составляет

(тыс. руб.).

Согласно неравенству Маркова (57)

.

Учитывая, что , получим

.

Решая последнее неравенство, имеем , т.е. число вкладчиков не более 500.

Пример 54. Технический контролер проверяет партию однотипных деталей. С вероятностью 0,01 деталь может иметь дефект и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 – дефект . В каких границах будет заключено почти наверняка число бракованных деталей в партии из 1000 штук, если за вероятность практической уверенности принимается 0,997?

Решение. Найдем вероятность того, что наудачу взятая деталь будет иметь дефект. С использованием теорем сложения и умножения вероятностей вычисляем

0,0298.

Если проверять всю партию, то имеем схему Бернулли с параметрами: . Пусть число бракованных деталей при этой проверке. Случайная величина имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием 29,8 и дисперсией 28,912.

Для решения задачи используем неравенство Чебышева (59)

,

где - пока неизвестная величина. Найдем ее.

По условию задачи вероятность события должно равняться вероятности практической уверенности

0,997.

Отсюда с использованием полученного неравенства Чебышева получаем уравнение для определения : .

Решая уравнение относительно , получаем =98,17.

Неравенство запишем как двойное неравенство

.

Отсюда

и искомое изменение случайной величины : .

Пример 55. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято наудачу по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп по всей партии не более чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

Решение. Пусть продолжительность горения электролампы, взятой из го ящика (ч). По условию дисперсии ограничены 49.

Очевидно, что средняя продолжительность горения отобранных ламп равна

,

а средняя продолжительность горения ламп по всей партии составит величину

.

Найдем математическое ожидание для средней арифметической

и оценку дисперсии

.

Требуется найти вероятность события

или

.

К последнему можно применить неравенство Чебышева (59) с учетом полученной оценки

0,9902.

Итак, вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп по всей партии не более чем на 5 часов не менее чем 0,9902.

Заметим, что если число отобранных ламп (в нашем случае =200) будет неограниченно возрастать, то дробь в правой части последнего неравенства будет стремиться к нулю и тем самым выполняется теорема Чебышева (61).

Пример 56. Случайная величина является средней арифметической 10000 независимых одинаково распределенных случайных величин, среднее квадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Какое максимальное отклонение величины от ее математического ожидания можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9544?

Решение. Рассмотрим . .

По условию 2. Тогда в силу независимости

40000.

Отсюда 200. Для случайной величины выполняются все условия теоремы Чебышева (независимость , ограниченность дисперсий ). Поэтому сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий . Найдем

.

Случайная величина удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова и в пределе ()стремится к нормальному закону распределения.

Тогда по условию задачи должно выполняться равенство:

0,9544.

Из уравнения

0,4772

по таблице функции Лапласа (приложение 2) находим значение ее аргумента =2.

Отсюда 0,04, т.е. максимальное отклонение величины от ее математического ожидания с вероятностью, не меньшей 0,9544, составляет 0,04.

Пример 57. Сколько нужно провести независимых испытаний, чтобы с вероятностью 0,8 событие , вероятность появления которого при одном опыте равна 0,05, наблюдалось не менее 5 раз?

Решение. Число появлений события подчиняется биномиальному распределению и его числовые характеристики определяются по формулам:

.

Применяем теорему Муавра-Лапласа (формулу (65))

.

Отметим, что

,

так как уже при .

Заменив по условию 0,8, получим

или

.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) находим аргумент , соответствующий значению функции . Решая уравнение

,

находим единственный положительный корень 133. Итак, для появления события не менее 5 раз с вероятностью 0,8 необходимо произвести 133 испытания.