Множественная регрессия

Искомое регрессионное уравнение имеет вид

y = а+bx₁+cx₂+dx₃+.....ix_i

где а свободный член

b, c, d...…i коэффициенты при переменных

Как видно, речь идет о линейной регрессии, т.е. влияние каждой переменной должно быть линейным. Если зависимость не линейна - необходимо таким образом преобразовать параметр x, чтобы привести зависимость к линейному виду. Для этого можно заменить x на 1/x (если вид зависимости гиперболический, на Ln(x) - если вид зависимости логарифмический, на x^к, если зависимость степенная или ввести новые переменные x², x³ и.т.п., если зависимость полиномиальная.

В данном случае явно видно, что зависимость размера зоны L_оп от глубины работ Н не является линейной. Установим вид зависимости L_оп от Н. Для этого по данным таблицы строим график с помощью "Мастера диаграмм" (рис. 1.11) и устанавливает уравнение тренда. Достаточно рассмотреть крайние кривые рисунка.

Рис. 1.11 Зависимость размера зоны опорного давления от глубины

работ и мощности пласта (график построен по данным таблицы 1.)

Запишем возможные уравнения и величины R².

степенная 5,7038x^0,3943 R² = 0,9819

логарифмическая 25,598Ln(x) - 90,763 R² = 0,9979

полиномиальная 26,15-4E-05x² + 0,1049x R² = 0,9956

Наиболее подходит для данного случая логарифмическая зависимость L_оп от Н. Перестроим таблицу, заменив Н на Ln(H) и построим график в новых координатах.

Таблица 1.11 Преобразованная таблица 1.10

Ln(H)	М о щ н о с т ь п л а с т а, м
0,5		1,5		2,5
5,298317	19,5			35,2		44,3
5,991465			43,8		56,3
6,39693	33,3	44,3			66,9	73,3
6,684612	38,4			66,7
6,907755	41,6	52,5		70,6		86,6
7,090077	44,3		64,3		81,7	89,4

Рис.1.12 Зависимость размера зоны опорного давления от логарифма глубины работ и мощности пласта (по данным таблицы 1.11)

В данном случае без анализа видно, что зависимость линейная.

Теперь установим форму зависимости размера зоны опорного давления от мощности пласта. Для этого на основании исходной таблицы построим графики зависимости L_оп от m.

Наглядно, что зависимость носит линейный характер.

И так. Искомое уравнение будем находить для переменных Ln(H) и m.

1. Построим в EXCEL регрессионную таблицу по данным таблицы исходной. В самой левой колонке расположим H, в следующей Ln(H), затем m и L_оп.

Рис. 1.13 Зависимость размера зоны опорного давления от мощности

пласта и глубины работ (по данным таблицы 1.)

Данные таблицы формируем так, чтобы было удобно копировать их из исходной таблицы. Так, вначале вносятся данные о размере зоны при мощности пласта 0,5 м и глубинах от 200 м до 1200 м, затем данные при тех же глубинах, но мощности пласта 1,0 м. Когда все данные о функции внесены, вычисляется величина Ln(H) (команда - =Ln("ячейка для Н")).

Таблица 1.12 Регрессионная таблица

	А	В	С	D
	Н	Ln(H)	m	Lоп
		5,298317	0,50	19,5
		5,991465	0,50
		6,39693	0,50	33,3
		6,684612	0,50	38,4
		6,907755	0,50	41,6
		7,090077	0,50	44,3
		5,298317	1,00
		5,991465	1,00
		6,39693	1,00	44,3
		6,684612	1,00
		6,907755	1,00	52,5
		7,090077	1,00
		5,298317	1,50
		5,991465	1,50	43,8
		6,39693	1,50
		6,684612	1,50
		6,907755	1,50
		7,090077	1,50	64,3
		5,298317	2,00	35,2
		5,991465	2,00
		6,39693	2,00
		6,684612	2,00	66,7
		6,907755	2,00	70,6
		7,090077	2,00
		5,298317	2,50
		5,991465	2,50	56,3
		6,39693	2,50	66,9
		6,684612	2,50
		6,907755	2,50
		7,090077	2,50	81,7
		5,298317	3,00	44,3
		5,991465	3,00
		6,39693	3,00	73,3
		6,684612	3,00
		6,907755	3,00	86,6
		7,090077	3,00	89,4

В главной строке активизируем окно " Сервис ". В выползающем меню активизируем строку " Анализ данных ". В выпавшем меню " Инструменты анализа " активизируем строку "Регрессия ".

Появляется шаблон для ввода " Входной интервал по Y " и " Входной интервал для Х ". Ставим курсор в окошко " Входной интервал для Y ", в регрессионной таблице выделяем столбец для Lоп (D2:D37).

Ставим курсор в окошко " Входной интервал для Х ", в регрессионной таблице выделяем столбцы для Ln(H) и m (В2:С37). Нажимаем на клавишу "Ok" в шаблоне.

В новом листе EXCEL выводятся итоги вычислений.

ВЫВОД ИТОГОВ (таблица 1.13).

Таблица 1.13 Вывод итогов

Регрессионная статистика	Y-пересечение	-101,702
Множественный R	0,98856421	Переменная X1	20,27473
R-квадрат	0,97725919	Переменная X2	15,29714

В нашем случае - множественный коэффициент регрессии 0,98856421, R² - 0,97725919, свободный член уравнения -101,7, коэффициент при первой переменной (Ln(H)) 20,27473, коэффициент при второй переменной m 15,29714.

Таким образом, уравнение, аппроксимирующее номограмму, можно записать в виде

L_оп = -101,7 + 20,27Ln(H)+15,3m

Формула применима при мощности пласта от 0,5 м до 3,0 м, глубине работ от 200 м до 1200 м.

Это уравнение можно использовать в программе и при ручном счете.

Программа расчета размера зоны опорного давления имеет вид:

	А	В
	Исходные данные
	Мощность пласта, м
	Глубина работ, м
	Вычисления
	Размер зоны опорного давления, м	=-101,7+20,27*Ln(B3)+15,3*В2

В рассмотренном случае мы имели дело с двумя переменными. Рассмотренный метод аппроксимации может использоваться для достаточно большого количества переменных.