Скалярное произведение векторов

Пусть и - произвольные векторы, а j - угол между ними:

j

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

× = ï ïï ïcosj (3.1)

Свойства скалярного произведения:

1) × = × - переместительный закон;

2) (a )× = ×(a ) = a( × ), a=const – сочетательный закон относительно умножения на число;

3) ×( + ) = × + × - распределительный закон относительно суммы векторов;

4) × = ²= ï ï² (3.2) – формула скалярного квадрата.

× = ç ç×ç ç×cos(, ) = ï ï² cos0° = ï ï².

Из (3.2) Þ ï ï = - длина вектора равна корню квадратному из его скалярного квадрата.

5) × = 0, если ^ и наоборот, если × = 0, то при ¹ 0 и ¹ 0 векторы и взаимно перпендикулярны – это условие перпендикулярности двух векторов:

^ Û × = 0 (3.3)

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b (3.4) - скалярное произведение векторов в координатной форме

Используя полученные равенства (3.1) и (3.4), получаем формулу для вычисления угла между векторами:

(3.5)

Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2 )×(5 - 6 ), если

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

§5.Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

j

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ = (4.1)

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример. Найти векторное произведение векторов и

.

.