Операции над матрицами

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что, они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, можно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц A и B одинаковых размеров m´n является матрица С = А + В того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц, т.е.: c_ij = a_ij ± b_ij, i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n.

Определение. Произведением матрицы А на число a называется матрица В = aА, элементы которой b_ij = a a_ij, i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n.

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

Определение: Произведением матриц А_m´k×B_k´n называется такая матрица С_m´n, каждый элемент которой c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: , i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример. Вычислить произведение А×В, где

А= ; В = .

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (это следует из определения этих операций)

Свойства операции над матрицами.

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) a(А + В) = aА + aВ;

4) А×(В + С) = А×В + А×С;

5) (А + В)×С = А×С + В×С;

I. a(А ×В) = (aА)В = А(aВ);

7) (АВ)С = А(ВС).

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

I. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере, приведенном выше, получили произведение матриц А_2´3×B_3´3 = С_2´3, а произведение В_3´3×А_2´3 не существует.

II. Если даже произведения АВ и ВА существует, то они могу быть матрицами разных размеров. Например, А_2´3×B_3´2= С_2´2, а В_3´2×А_2´3= D_3´3.

III. Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения и обе матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одинакового порядка).

Пример. Найти произведения АВ и ВА, где

А = , В = .

Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (коммутирующими между собой).

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка:

А×Е = Е×А = А

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

IV. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует, что А=0 или В=0. Например, А= , B= , но АВ = = 0.

V. Важным частным случаем произведения матриц является произведение квадратной матрицы А_n´n на вектор-столбец Х = :

А× Х = × = = x₁ + x₂ +... + x_n , т.е. вектор А× Х является линейной комбинацией столбцов матрицы А с коэффициентами x_i.

Аналогично при умножении матрицы А на вектор-строку(слева) Х А мы получаем вектор-строку, являющийся линейной комбинацией строк матрицы А с коэффициентами x_i.

Рассмотрим еще одну операцию – транспонирование матрицы

Определение. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^Т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А:

А = ; А^Т= ;

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m´n, то транспонированная матрица А^Т имеет размер n´m.

Свойства операции транспонирования:

1) (А^Т)^Т = А;

2) (kA)^T = kA^T;

3) (A + B)^T = A^T + B^T;

4) (АВ)^Т = В^ТА^Т.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.