Линейная комбинация векторов

Определение. Линейной комбинацией векторов , ,... с действительными коэффициентами a, b,..., g, называется вектор .

Утверждения:

1) Если векторы и коллинеарны, то их линейная комбинация с некоторыми действительными числами a и b (a≠0 и b≠0) равна нулю:

Действительно, и, наоборот, если || Þ

(самостоятельно).

2) Если векторы , и - компланарны, то найдутся такие числа a, b, g (≠0), что их линейная комбинация будет равна нулю (и наоборот), т.е.

, и - компланарны Û

Определение. Линейно независимыми векторами на плоскости называются два вектора, если они не коллинеары; а в 3-ех мерном пространстве – три вектора, если они не компланарны.

Определение. Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку линейно независимых векторов.

Определение. Если три единичных вектора (длина которого равна единице) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов, то они являются базой прямоугольной декартовой системы координат.

Обозначается - орты координат.

Система координат называется правой, потому что векторы имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Для определения правого направления системы координат может быть использовано правило правого винта: если винт вкручивается в ось OZ со стороны 0, то отвертка вращается от X кY.

Вектор в прямоугольной декартовой системе координат записывается в виде: , где a_x, a_y, a_z – прямоугольные декартовы координаты вектора или проекции этого вектора на соответствующие оси.

В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке М однозначно соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки М. Декартовы координаты вектора отнесенные к , называются декартовыми координатами точки М.