Обратная матрица. Если a – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A^-1. Покажем, что | A | ≠ 0.

Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей .

Предположим, что | A | = 0. Тогда . Но с другой стороны . Полученное противоречие и доказывает, что | A | ≠ 0.

2. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы третьего порядка. Пусть и | A | ≠ 0.

Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

, где A_ij алгебраическое дополнение элемента a_ij.

Найдём AB=C.

Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c₂₂ = c₃₃ = 1.

Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,

Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому B = A^-1.

Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы.

Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом

,

где A_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij данной матрицы A.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа A_ij.

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на – это и будет .

4.

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной . Сделать проверку.

| A | = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Проверка:

.

Аналогично A∙A^-1 = E.

2. Найти элементы и матрицы A^-1 обратной данной

.

Вычислим | A | = 4. Тогда .

.

3. . Найдем обратную матрицу.

Система линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i =1,…, m; b =1,…, n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

1. Система может иметь единственное решение.

2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.