Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.
Определитель обозначается символом .
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.
Примеры. Вычислить определители второго порядка.
1.
2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и
Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.
1. .
2. .
3. Решите уравнение. .
.
(x +3)(4 x -4-3 x)+4(3 x -4 x +4)=0.
(x +3)(x -4)+4(- x +4)=0.
(x -4)(x -1)=0.
x1 = 4, x2 = 1.
Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.
Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.
Свойства определителя
1. Если квадратная матрица AT является транспонированной матрицей A, то их определители совпадают | AT | = | A |, т.е. определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка .
Доказательство проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:
2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,
Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка.
.
Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно.
3. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Например, .
Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем | A | = –| A | или | A | = 0.
4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Например, .
Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)
5. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой).
6. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,
.
Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1.
7. Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,
.
Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.
Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 291 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!