Игры с природой. Матрица рисков. Критерии Байеса, Лапласа, Сэвиджа, Вальда

Критерий Байеса – Лапласа. Применяя этот критерий, отступают от условий полной неопределенности, считая, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

(6.13)

Принцип Байеса – Лапласа можно применять, если изучаемые состояния природы и принимаемые решения многократно повторяются. Тогда, например, основываясь на частотах появления отдельных состояний природы в прошлом, можно оценить вероятности их появления в будущем статистическими методами. При единичных, не повторяющихся решениях принцип Байеса – Лапласа применять нельзя, даже если состояния природы повторяются. Это вызвано тем, что такие решения нарушают стационарность распределения вероятностей состояний природы.

Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска). Суть данного критерия состоит в выборе решения, не допускающего чрезмерно высоких потерь. Для этого строится так называемая матрица рисков, которая показывает, каким будет убыток, если выбрать не лучшее решение.

Риском игрока при выборе некоторого решения А₄ в условиях П j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях, и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию А. Обозначим эту величину rij. Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы П, онвыбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце: max aij.

Тогда, по определению, риск

(6.11)

Матрица рисков строится так:

- для каждого состояния природы (столбца) определяется наибольший элемент;

- элемент матрицы рисков получается вычитанием соответствующего элемента платежной матрицы из максимального элемента данного столбца.

Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые используют в теории игр для поиска седловой точки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения X_i выбирается самая худшая ситуация (наименьшее из W_ij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект: