Модели булевой алгебры (алгебра логики, алгебра множеств, алгебра контактных схем). Изоморфизм. Изоморфные алгебры

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). основной задачей алгебры контактных схем является отыскание всех эквивалентных схем с тем, чтобы можно было выбрать из них наиболее простую.

Изоморфи́зм — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством.

2.1.3)Основные понятия алгебры логики: высказывание (суждение), логические константы и переменные, операции и функции.

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью ко- торого записывают, вычисляют, упрощают и преобразуют логические высказывания.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Например, рассмотрим высказывания: Параллелограмм имеет 4 вершины. Зимой день короче, чем летом. Число 25 делится на 5. Число 2 больше 5. Луна крутится вокруг Марса. Высказывания 1,2,3 являются истинными, а 4 и 5 — ложными. Высказывания бывают простыми и сложными. Простое вы- сказывание (логическая переменная) обозначают заглавными латинскими буквами: А, В, С, … И если высказывание истинно, то пишут А = 1, в противном случае А = 0.

Сложные высказывания (логические функции) состоят из простых высказывания и союзов между ними; обозначаются буквой F. Значение логической функции определяется с помощью таблицы истинности.

Таблица истинности — таблица, в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

2.1.4)Определение, условное обозначение и таблицы истинности логических операций “отрицание”, “конъюнкция”, “дизъюнкция”, “импликация”, “эквивалентность”. Примеры использования. Приоритеты логических операций.

Коньюкция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В истинны то С также истинно. Если же хотя бы одно из них ложно то С также ложно. Обозначение: АÙВ. Можно сказать так “ А и В “ и еще эту операцию называют логическим умножением.

Дизьюкция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В ложны то С также ложно. Если же хотя бы одно из высказываний А и В истинно то С также истинно. Обозначение: АÚВ. Можно сказать так “ А или В ” и еще эту операцию называют логическим умножением.

Эквиваленция. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Если А и В одновременно ложны или же истинны то С истинно иначе С ложно. Обозначение: А=В

Импликация. Это логическая операция устанавливающая соответствие между высказываниями А и В и высказыванием С следующим образом: Пусть А посылка и В следствие, тогда:если А ложно то С истинно (то есть из ложного утверждения может следовать все что угодно)если А истинно и В истинно то С истинно (из истинного утверждения можно вывести истинное)если А истинно и В ложно то С ложно (из истинного утверждения не может следовать ложное) Обозначение: А®В

Импликация устроена немного сложнее других операций. В импликации существенное значение имеет порядок аргументов. Первый называется посылкой, а второй следствием. Можно сказать, что первое высказывание является как бы причиной второго, а второе как бы вытекает из первого.