АЧХ и ФЧХ. Резонанс

АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.

ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: w»w₀

А=А₀sin(w₀t+j)

Ä+w₀²A=0

2gÁ=(F₀/m)sinw₀t

A=(F₀/2mgw₀)sin(wt-p/2)

A₀=F₀/2mgw₀=(F₀/mw₀²)*(w₀/2p)=(F₀/k)*Q

tg j = (2gw)/(w₀²-w²)

½(w₀-w)/w½ << 1

(w₀²-w²)² = (w₀-w)²*(w₀₊w)²; w₀₊w ≈ 2ω; 4γ²ω² ≈ 4γ²ω₀²

– Формула Лоренца

∆ω = 2δ=ω₀/Q - ширина резонансной кривой.

g=d — дектремент затухания.

W=(ω₀²-g²)^1/2.

Билет 17.

Вопрос 1.

Движение тела с одной закреплённой точкой. Регулярная прецессия свободного симметричного волчка.

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы – начала систем XYZ и x 0 y 0 z 0, введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера: j=j(t), y=y(t), q=q(t).

Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некотjрый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Cледствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени общем случае меняется. Г М положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x 0 y 0 z 0) – это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Г М положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, – это тоже коническая поверхность – подвижный аксоид. Линейная скорость произвольной точки твердого тела вокруг мгновенной оси: v=w´r, где r – радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x 0 y 0 z 0), совмещенного с точкой закрепления.

Эти уравнения наз. уравнениями Эйлера. В ряде случаев движение с одной закр. точкой можно представить как суперпозицию 2-х вращений вокруг пересекающихся осей, угловые скорости складываются векторно.

Регулярная прецессия свободного симметричного волчка. Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно точки S: M=mg l sinq. Изменение момента импульса L определяется выражением: dL=Mdt. При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью W. Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие w>>W и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа.

dL=L sinqWdt, dL=W´L dt Þ M= dL=W´L.

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

mglsinq=WJ_zw sinq Þ W=mgl/J_zw

Билет 18.

Вопрос 1.

Момент импульса твёрдого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси. Теорема Штейнера. Примеры вычисления осевых моментов инерции.

Уравнение моментов. Момент инерции относительно закрепленной оси. Рассмотрим твердое тело как систему жестко связанных между собой материальных точек. Уравнение движения для i-й материальной точки массы m, в лабораторной системе координат имеет вид:

где F. — сумма всех внешних сил, действующих на i-ю материальную точку, f — сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны j-й материальной точки, т.е. внутренняя сила. Будем полагать, что силы взаимодействия являются центральными, то есть векторы и коллинеарны.

Умножим обе части уравнения движения (В.6) векторно на радиус-век­тор

С учетом того, что

(так kак ,то ), после суммирования по всем точкам системы получим

Величина ^— импульс i-й материаль-

ной точки) называется моментом импульса системы относительно некото­рой неподвижной точки, выбранной за начало координат;

момент внешних сил относительно той же точки; величина является моментом всех внутренних сил. Выражение для момента внутренних сил можно преобразовать:

Заметим, что для центральных сил . Тогда с

учетом введенных выше обозначений уравнение (В.8) записывается в

следующем виде:

(B10)

Это уравнение называется уравнением моментов.

Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси, то векторное уравнение (В.10) сведется к скалярному уравнению. В частности, если ось вращения совпадает с осью координат z, то

М — проекции L и М на ось г.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w скорость каждой материальной точки т, тела будет равна

где l — ее расстояние до оси z. Проекции моментов импульса

на ось z для этих точек будут равны Так как w одинакова для всех точек твердого тела, то момент импульса всего тела относительно оси z равен

Величину (B13)

называют моментом инерции тела относительно закрепленной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении относительно закрепленной оси.

получаем основное уравнение вращатель­ного движения тела вокруг закрепленной оси z:

При непрерывном распределении массы по объему для вычисления момента инерции пользуются не суммированием, а интегрированием по всему объему тела и тогда (В. 13) приводится к следующему виду:

Если удалось определить момент инерции jo относительно некоторой оси, проходящей через центр масс — точку с радиусом-вектором

(m— масса точки тела, r— ее радиус-вектор), то в

соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнера момент инерции тела / относительно любой другой оси, параллельной первоначальной и находя­щейся на расстоянии а от нее, равен

(В. 17) где т — масса тела.

Теорема Гюнгенса-Штейнера. Вычисление мо­ментов инерции относительно оси во многих случаях облегчает теорема Гюйгенса, связывающая моменты инерции относительно двух параллель­ных осей, одна- из которых проходит через центр масс тела. Ось АоВо пусть будет осью, проходя­щей через центр масс. Радиус-вектор точки с массой m отсчитываемый от этой оси в плоскости, перпендикуляр­ной оси, обозначим R„ а от оси АВ, параллельной оси АоВо, но не проходя­щей через центр масс, r. Проведем от оси АоВо к оси АВ в этой плос­кости вектор а. Пусть Jо — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, a J — относительно оси АВ, не проходящей через центр масс. По определению моментов инер­ции имеем

(32.11)

Видно, что r = - a+R; и, следовательно, Поэтому получаем

(32.12)

Учтем, что =0 по определению оси, проходящей через центр масс, а =m—масса тела.

Поэтому (32.12) принимает вид

Моменты инерции параллелепипеда со сторонами а, b и с относительно его главных осей. Выберем оси системы координат (х, у, z) совпадающими с главными центральными осями. Начало системы координат совпадает с центром параллелепипеда. Для определения мо­мента инерции относительно оси Ох представим параллелепипед как совокупность тонких прямоу­гольных пластинок массой dm = dy и толщиной dy. Момент инерции каждой такой

пластинки относительно оси Ох в соответствии с теоремой Гюйгенса—Штейнера равен

Момент инерции всего параллелепипеда по­лучим, интегрируя по всему объему Аналогично вычисляются моменты инерции относительно осей у и х:

Вопрос 2.