Определение среднего уровня ряда динамики

В интервальном ряду динамики расчёт среднего уровня производится по формуле САП (невзешенной)

Yср. = ∑ Yi / n

Yi – абсолютные уровни ряда, n – число периодов.

В моментном ряду динамики, с равно отстоящими (с равным периодом) датами определение среднего уровня производится по формуле средней хронологической.

Y ср. = ½ y1 + y2+…+yn-1 + ½ yn / n-1

Yср= 100 + 240+ 260 + 105 / 4 -1= 705/3

В моментных рядах с неравно отстоящими датами расчёт среднего уровня производится по формуле САВ.

Yср. = ∑ yi*ti / ∑ ti

Yi – уровни, сохраняющие без изменения в течение промежутка времени ti;

Дата	Число рабочих (у)	В течение (t)
1.01		12 дней
13.01	-12 (188)	4 дня
17.01	-2 (186)	2 дня
19.01	+5 (191)	5 дней
24.01	+7 (198) (по 31.01 т.к. для января)	8 дней
4.02	+3

Y ср. = 200*12+188*4+186*2+191*5+198*8 / 12+4+2+5+8

Анализ рядов динамики. Все показатели динамики могут быть вычислены цепным и базисным методами. При базисном методе каждый последующий показатель сравнивают с начальным (базисным) показателем. При цепном методе, каждый последующий показатель сравнивают с предыдущим.

Абсолютный прирост исчисляется как разность между уровнем изучаемого периода и уровнем, принимаемым за базу сравнения.

Δ yб = yi –y1

Δ yц = yi – Y_i-1

Темп роста исчисляется как отношение уровня ряда отчётного периода к уровню предыдущего или базисного периода.

Tб = (yi / y1) * 100%

Tц = yi / y_i-1 * 100%

Темп прироста исчисляется как отношение абсолютного прироста к уровню принятому для сравнения.

Δ Tб = Δ yб / y1 * 100%

Δ Тц = Δ уц / у_i-1 * 100%

Δ Т = T – 100%

Абсолютное значение одного процента прироста исчисляется как отношение абсолютного прироста к темпу прироста этого же периода (только для цепных показателей).

А1% = Δ yц / Δ Тц (%)

А1%= 0,01 y_i-1

Средний абсолютный прирост исчисляется как отношение суммы цепных абсолютных приростов к числу этих приростов.

Δ y ср = ∑ Δ yц / m; m=n-1 – число приростов

Сумма цепных абсолютных приростов даёт последний базисный абсолютный прирост, а разность между базисными абсолютными приростами – цепной.

Δy ср. = Δ yбn / m

Δ y ср. = yn – y1 / n-1

Средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической.

T ср = (Т1ц * Т2ц *…*Тnц)^1/m (в скобках произведение коэффциентов)

Существует правило - произведение цепных темпов роста даёт последний базисный темп. А частное от деления базисных темпов даёт цепной.

Т ср = (Тбn)^1/m

T ср = (yn/y1)^1/n-1

Средний темп прироста.

Δ Т ср = Т ср - 100%

Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значение уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты: Тренд, сезонная компонента, циклическая компонента, случайная составляющая. Основной тенденцией развития (трендом) называется плавная и устойчивая изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний - это систематическая составляющая долговременного действия. Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – это периодические составляющие рядов динамики. Если периоды колебания не превышают одного года, их называют сезонными. Чаще всего, причины их возникновения бывают природно-климатические условия (колебание цен на картофель). При большом периоде колебания считается, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию развития, освобождённую от действия различных случайных факторов. С этой целью, ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построение графика исследуемого показателя. Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции развития в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Одновременно уменьшается количество интервалов. Среднее, исчисленное по укрупнённым интервалам позволяет выявлять направление и характер основной тенденции развития. Рассмотрим применение метода укрупнения интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятия

Месяц	Объём производства, млн руб	Месяц	Объём производства
Январь	5,1	Июль	5,6
Февраль	5,4	Август	5,9
Март	5,2	Сентябрь	6,1
Апрель	5,3	Октябрь	6,0
Май	5,6	Ноябрь	5,9
Июнь	5,8	Декабрь	6,2

Квартал	За квартал (млн руб)	В среднем за месяц
I	15,7	5,23
II	16,7	5,57
III	17,6	5,87
IV	18,1	6,03

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируем укрупнённые интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать y1, y2…, yn. Второй уровень – y2, y3,…, yn+1. Третий – y3, y4,…, yn+2. Таким образом интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом равным единице. По сформированным укрупнённым интервалам определяем сумму значений уровней на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученное среднее относится к середине укрупнённого интервала, поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупнённый интервал составлять из нечётного числа уровней. Нахождение скользящей средней по чётному числу уровней создаёт неудобства, вызываемые тем, что средняя может быть отнесена только к середине между 2 датами. В этом случае необходимо дополнительная процедура центрирования средних.

Y1

Y2 находим ∑ трёх и: 3. (y1, y2, y3)

Y3

Y4 затем берём (y2, y3, y4) ∑:3 и т.д.

Y5

Нередко выбор интервала сглаживания осуществляется произвольно, однако при этом нужно учитывать количество уровней в анализируемом ряду динамики, т.к. при использовании метода скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом, на число уровней равное m-1 (где m – интервал сглаживания). Вместе с тем, чем продолжительнее интервал сглаживания, тем сильнее усреднение. А потому выявляемая тенденция развития получается более плавной. Чаще всего интервал сглаживания может состоять из 3, 5, 7 уровней. Рассмотренные приёмы сглаживания динамических рядов укрупнения интервалов и метод скользящей средней могут рассматриваться как важное вспомогательное средство облегчающее применение других методов. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае, фактические уровни заменяются уровнями вычисленными на основе определённой кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя. При аналитическом выравнивании закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени.

Y(^) = f(t)

Уровни динамического ряда вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению, на момент времени t. Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Экстраполяция – продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При выборе вида кривой, для выравнивания возможно использование метода конечных разностей. Свойства конечных разностей заключаются в следующем:

1. Если общая тенденция выражается линейным уравнением, y(^)_t=b₀ + b₁t, тогда получаем постоянными первые разности (абсолютные приросты) Δ’i=yi-y_i-1 и нулевыми вторые разности, это разность между абсолютными приростами. Δ’’i=Δ’i-Δ’_i-1

T=0, y0=b0. T=2, y2=b0+2b1. T=3, y₃=b0+3b₁

Δ’1=y1-y0=b1; Δ’2=y2-y1=b1; Δ’’1=Δ’2-Δ’1=0

2. Если тенденция выражается параболой второго порядка, то получим постоянными вторые разности, нулевыми - третьи разности

Y(^)t=b0+b1t+b2t^2

T=0, y0=b0

T=1, y1=b0+b1+b2

T=2, y2=b0+2b1+4b2

Δ’1=y1-y0=b1+b2

Δ’2=y2-y1=b1+3b2

Δ’3=y3-y2=b1+5b2

Δ’’1=Δ’2-Δ’1=2b2

Δ’’2=Δ’3-Δ’2=2b2

Δ’’3=Δ’4-Δ’3=2b2

Δ’’’1=Δ’’2-Δ’’1=0 И ТАДЭ

Основываясь на указанных свойствах конечных разностей для различных видов кривых сделан вывод о применимости для выравнивания линейной функции, если любые 3 равноотстоящие уровня имеют нулевую вторую разность. Порядок разности остающихся примерно равными друг к другу принимается за степень выравнивающего многочлена. I.e., если примерно одну и ту же величину имеют вторые разности, то для выравнивания используется парабола второго порядка. Можно указать и ряд других признаков, которые могут помочь при выборе формы кривой. Если примерно постоянными оказываются цепные темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция. Если первые разности имеют тенденцию уменьшаться с постоянным темпом, то следует остановиться на модифицированной экспоненте. Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений рассчитанных по уравнению тренда.

∑(y_t-y(^)t)^2=>min

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерии.

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой gt=b0+b1t рассчитывается по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

{∑уi=b0n+b1∑ti

{∑yiti=b0∑ti+b1E^2i

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отчёт времени производить так, чтобы сумма показателей времени, изучаемого ряда динамики была равно нулю. (∑ti=0). При нечётном числе уровней ряда динамики для получения суммы ∑ti=0 уровень находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчёта времени. Этому периоду или моменту времени придаётся нулевое значение. Даты времени, стоящие выше этого уровня обозначаются натуральными числами со знаком «-». Даты времени, стоящие выше этого уровня – N со знаком «+». Если число уровней динамического ряда чётное, периоды времени верхней половины ряда от середины нумеруются -1, -3, -5 и т.д. А нижние +1, +3, +5 и т.д.

Янв -2 либо не с нуля

Фев -1

Март 0

Апр 1

Май 2

При этом условии ∑ti=0, и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом

{∑yiti=b0∑ti+b1E^2i b0=∑y / n =yср

{∑уi=b0n+b1∑ti b1=∑ yt / ∑t^2

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряд динамики строительства жилья.

Годы	Построено жилья, млн (y)	Условные периоды (t)	Yiti	T^2	Выровненные уровни y(^)	Yi-y(^)t	(yi-y(^)t)^2	Δ’=yi-yi-1	Δ’’=Δ’-Δ’i-1	t^4	Yi*t^2	Y(^)i	(yi-y(^))^2
	1,8	-2	-3,6		1,68	0,12					7,2
	1,9	-1	-1,9		1.95	-0,05		0,1			1,9
	2,1				2,22	-0,12		0,2	0,1
	2,4		2,4		2,49	-0,09		0,3	0,1		2,4
	2,9		5,8		2,76	0,14		0,5	0,2		11,6
Итого	11,1		2,7		11,1		0,059				23,1		0,001

B0=11,1 / 5=2,22

B1= 2,7 / 10 = 0,27

Yt(^)=2,22 +0,27t

Используя данное уравнение рассчитаем для каждого года теоретические значения.

Y(^)=2,22 + 0,27*(-2)=1,68

Правильность расчёта уровней выравниваемого ряда может быть проверена следующим образом - ∑значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выравненного ряда ∑yi=∑y(^)_ti

Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции.

Интерполяция – нахождение неизвестного промежуточного уровня ряда динамики. Экстраполируя при t=3, находим уровень в 2012 году.

Y(^)12= 2,22+0,27*3=3,03 млн м^2

Возможность экстраполяции обеспечивается двумя обстоятельствами:

1. Общие условия определяющие тенденцию развития в прошлом не претерпевают существенных изменений в будущем

2. Тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением.

Общая тенденция развития может быть охарактеризована с помощью содержательного экономического анализа. Вместе с тем, расчёт таких показателей как скорость роста (абс прирост), темпы роста, пункты роста (прирост) позволяют ориентироваться в наличии или отсутствии устойчивой тенденции развития и обосновать форму уравнения тренда. Если условие формирования уровня ряда изменяются, то расчёт параметров уравнения не следует вести по данным за весь рассматриваемый период. В этом случае целесообразно развить ряд динамики на ряд этапов, ориентируясь на устойчивость абсолютных приростов или пунктов роста. Значение y(^)t получено в результате экстраполяции используют для определения прогнозного значения на будущее.

При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так наызваемые доверительные интервалы прогноза, которые определяются по следующему выражению:

y(^)t+-t_a*(Sy(^)_t / n^1/2)

t(альфа) – табличное значение t-критерия Стьюдента, при уровне значимости альфа.

Sy(^) – среднее выравненное отклонеие от тренда.

Sy(^)=(∑(yi-y(^))^2 / n-m))^1/2, где yi & y(^)t фактические и расчётные значения уровней ряда, n – число уровней ряда, m – количество параметров в уравнении тренда. Для прямой m=2 (возврат в таблицу)

Sy(^)t=(0,059/5-2)^2=0,14 млн м^2

Альфа=0,05

3,03 +- 3 0,059 /5^1/2

3,03 +- 0,1878

2,9=<y12=<3,2

Таким блядь образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2012 году будет построено жилья не меньше чем 2,9 млн м^2, но не больше чем 3,2 млн м^2, но если воспользоваться методом конечных разностей для выбора формы уравнения тренда, то из данных расчётной таблицы можно видеть (опять в таблицу) абсолютные приросты не являются постоянными, а начиная с 2009 года примерно постоянными будут вторые разности (разности абсолютных приростов). В этом случае для выравнивания может использоваться парабола второго порядка y(^)t=b0+b1t+b2t^2

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы при соблюдении принципа отчёта от условного нуля будет иметь вид:

∑yi=b0n+b2∑t^2

∑yiti=b1∑t^2

∑yit^2=b0∑ti^2 + b2∑t^4

Таблоид возврат

{11,1=b0*5+b2*10

{2,7=b1*10

{23,1=b0*10+b2*34

B0=2,09

B1=0,27

B2=0,06

Yt=2,09+0,27t+0,06t^2

Экономические индексы

Индекс (в статистике) – относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых и несоизмеримых элементов) во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном. Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина, под которой понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения.

С помощью индексов решаются 3 главные задачи:

1. Индексы позволяют измерять изменение сложных явлений

2. С помощью индексов можно определить влияние отдельных факторов на изменение динамики сложного явления

3. Индексы являются показателями сравнений не только с прошлым периодом, но и с другой территорией (сравнение в пространстве), а также с нормативными планами, прогнозами.

Индексы классифицируют по следующим признакам:

1. По содержанию индексируемых величин (по характеру изучаемых объектов): а) индексы количественных показателей (индексы физического объёма, промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объёма розничного товарооборота, НД, объёма продаж иностранной валюты и др. Все индексируемые показатели этих индексов являются объёмными, поскольку они характеризуют общий суммарный размер того или иного явления и выражаются абсолютными величинами. При расчёте таких индексов количества оцениваются в сопоставимых ценах.

Б) Индексы качественных показателей (индексы курса валют, цен, себестоимости, производительности труда, урожайность, средней зп. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчёте на количественно-измеримую единицу совокупности. Такие показатели называются качественными и носят расчётный, вторичный характер. Как правило они являются либо средними, либо относительными величинами. Расчёт таких индексов производится на базе одинаковых неизменных количеств продукции

2. По степени охвата единиц совокупности:

А)Индивидуальные индексы (служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления)

Б) Общий (сводный) индекс – отражает изменение всех элементов сложного явления При этом под сложным явлением принимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию. Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми индексами.

Условные обозначения:

q – кол-во/объём какого-либо продукта в натуральном измерении, p – цена единицы товара, z – себестоимость единицы продукции, t – затраты времени на производство единицы продукции (трудоёмкость), W – выработка продукции в единицу времени на одного работника (производительность труда)

t= 1\W, W=1\t

T=tq – общие затраты времени, на производство продуцкии

Pq – стоимость, товарооборот, выручка

Zq – затраты на производство всей продукции

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, принято возле символа иръндекса ставить подстрочные знаки.q1 – текущий, q0 – базисное

Индивидуальный индекс обозначается i_p,сводный индекс Ipq.

Iz=z1/z0, iw=w1/w0=t0/t1

Вид товара	Цена за ед. руб	Продано ед.
базис	отчёт	Базис	Отчёт
А (кг)
Б (шт)

ipa=p1/p0=8/10=0,8=80% (-20%)

ipb=p1/p0=18/20=0,9=90% (-10%)

Ip=∑p1*q1/∑p0*q1 (агрегатный индекс цен показывает во сколько раз возросла или уменьшилась стоимость продукции из-за изменения цен, или сколько % составляет рост/снижение стоимости продукции в результате изменения цен, разность между индексом и 100% покажет на сколько процентов изменились цены. Числитель дроби ∑p1q1 – фактическая стоимость продукции текущего периода, знаменать p0*q1 – условная стоимость тех же товаров, в ценах базисного периода)

Ip=8*40+18*60/10*40+20*60=1400/1600=0,875=87,5% (-12,5%)

iqa= q1/q0=40/30=1,333=133,3 %

iqb=60/70=0,857=85,7%

Агрегатный индекс объёма: Iq=∑q1*p0 / ∑q0*p0=1600/10*30+20*70=94,1% (-5,9%)

Индекс физического объёма показывает во сколько раз изменился физический объём продукции или сколько процентов составляет его рост/снижение в отчётном периоде по сравнению с базисным.

Числитель ∑q1*p0 – условная стоимость проданных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода, заменатель ∑q0p0 – фактическая стоимость товаров произведённых в базисном периоде

Ipq=∑p1q1/∑p0q0=1400/1700=82,3% (-17,7%)

Ip*Iq=Ipq, 0,875*0,941=0,823=82,3%

Δpq=∑p1q1 - ∑p0q0= 1400-1700=-300

Δpq(p)=∑p1q1 - ∑p0q1=1400-1600=-200 (разница между числителем и знаменателем)

Δpq(q)=∑p0q1 - ∑p0q0=1600-1700=-100

Δpq=Δpq(p)+Δpq(q); -300=-200-100

Для характеристики динамики цен на потребительском уровне рассчитывается сводный индекс потребительских цен, который характеризует изменение во времени общего уровня цен на товары и услуги, приобретаемые населением для непроизводственного потребления. Он измеряет общее изменение стоимости, фиксированного набора потребительских товаров и услуг, называемых потребительской корзиной. Iпц строится для населения с различным уровнем доходов, проживающего в городских населенных пунктах. Регистрация цен, осуществляется в 266 городах. Наблюдение за потребительскими ценами проводится на территории всех субъектов РФ. Ипц исчисляются по 3 укрупнённым группам – продовольственные товары, непродовольственные товары, платные услуги населению, которые в свою очередь подразделяются на товарные группы и отдельные товары и услуги. Общее количество товаров и услуг составляет 445 наименований. Регистрация цен для построение Ипц осуществляется ежемесячно по состоянию на 23-25 число отчётного месяца. В набор товаров и услуг разработанные за наблюдением за ценами репрезентативно включены товары и услуги массового потребительского спроса, а также отдельные товары и услуги необязательного пользования (легковые автомобили, ювелирны изделия из золота, алкогольные напитки и др.). Отбор позиций осуществлён с учётом их относительной важности для потребления населения. Наблюдение за ценами и тарифами на товары и услуги осуществляется в организациях торговли, а также на вещевых, смешанных и продовольственных рынках как в стационарных торговых заведениях, так и при передвижной торговле (палатки, киоски) и в организациях сферы услуг. В выборочную совокупность включаются организации всех форм собственности и организационно-правовых форм, а также ИП, осуществляющие деятельность в розничной торговле. В наблюдении за ценами участвуют: около 50 тыс. торговых организаций и организаций сферы услуг, в которых регистрируются более 560 ценовых котировок на товары конкретных марок и сортов. Сбор данных о ценах осуществляется путём личного посещения организаций торговли и сферы услуг сотрудниками органов статистики. Ипц измеряет отношение стоимости фактического фиксированного набора товаров и услуг в текущем периоде, к его стоимости в предыдущем базисном периоде.

Ипц= Стоимость рыночной корзины базисного года в текущем году / Стоимость рын. корзины базисного года в базисном году * 100%

Ip=Ипц=∑p1q0 / ∑p0q0

Ip=∑p1q0*p1/p0 / ∑p0q0 (преобразованная, для каждого товара, формула Ласпейреса)

Ипц является одним из важнейших показателей, характеризующих уровень инфляции. Он используется в целях осуществления государственной финансовой политики, анализа и прогноза ценовых процессов в экономике, регулирования реального курса национальной валюты, пересмотра минимальных социальных гарантий, решение правовых споров.

Индекс себестоимости. Производство любой продукции связано с материальными затратами – сырьё, топливо, энергия, износ оборудования и инструментов, а также с оплатой труда работников предприятия). Сумма затрат в денежном выражении, связанных с производством и реализацией продукции или выполнением определённых работ составляет издержки производства, производственных предприятий выступают как себестоимость продукции. Себестоимость работ, услуг – важнейший показптель эффективности деятельности предприятия, представляет собой стоимостную оценку используемых в процессе производства продукции, работ, услуг, природных ресурсов, сырья, материалов, тоалмва эенергии основных фондов, трудовых ресурсов, а также других затрат,на её проихзвдство и реализацию. Очевидно, что чем экономнее расходу.тся материалы, энергия и т.п., то тем меньше другие виды материальных затрат. Чем правильнее организован труд и его оплата, тем меньше себестоимость продукции. Себестоимость является частью отпускной цены продукции, и следовательно стоимости продукции. Снижение себестоимости продукции без ущерба для её качества или снижение её удельного веса в полной стоимости продукции – важное условие обеспечения конкурентоспособности товара на рынке и источник получения дополнительной прибыли.

Индекс себестоимости характеризует среднее изменение себестоимости единицы продукции отчётного периода по сопоставимому с базисным периодом кругу продукции.

Агрегатный индекс себестоимости = Iz=∑z1q1 / ∑z0q1

Числитель – затраты на производство отчётного периода, знаменатель – затраты на производство той же продукции, если бы себестоимость единицы продукции оставалась на уровне базисного периода. Индекс себестоимость показывает во сколько раз уменьшился/возрос в среднем уровень себестоимости на продукцию, произведённую в отчётном периоде, или сколько процентов составляет его снижение, рост, в отчётном периоде оп сравнению с базисным. Iz – 100% показывает на сколько % в среднем уменьшился/возрос уровень себестоимости на продукцию, произведённую в отчётном периоде.

Разность между числителем и знаменателем = Δzq(z)=∑z1q1 - ∑z0q1 характеризует экономию/перерасход от снижения себестоимости единицы продукции.

Индекс производительности труда. Производительность труда – результативность конкретного живого труда, эффективность целесообразной деятельности людей по созданию продукта, в течение определённого промежутка времени. Измеряется количеством потребительных стоимостей произведённых в единицу времени, или количеством времени, затраченных на единицу продукции. Для характеристики уровня производительности труда используются 2 показателя:

1. Выработка W – характеризует кол-во продукции, производимой в единицу рабочего времени, или на 1 работника. Она является прямым показателем производительности труда. Чем больше выработка – тем больше производительность труда.

W=q /T, где T – затраты рабочего времени, на производство продукции, или численность работников

2. Трудоёмкость t – отражает затраты труда на производство единицы продукции.

t=T / q является показателем, обратным производительности труда. Снижение трудоёмкости свидетельствует о повышении производительности труда.

Агрегатный индекс производительности труда по затратам труда на единицу продукции

Iw=∑t0q1/∑t1q1

Данный индекс показывает во сколько раз возрос/уменьшился в среднем общий уровень производительности труда в отчётном периоде по сравнению с базисным. Числитель – условная величина, характеризующая затраты труда на продукцию отчётного периода при уровне трудоёмкости базисного периода. Знаменатель – фактические затраты труда на момент отчётного периода. Разность между числителем и знаменателем индекса показывает, абсолютный размер экономии времени в связи с ростом производительности труда.

Средние индексы. Средний индекс – индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Агрегатный индекс является основной формой общего индекса, поэтому средний индекс должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются 2 формы средних:

1. Арифметическая

2. Гармоническая

Рассмотрим средний гармонический индекс цен. Всех случаев, когда неизвестны отдельные значения p1 и q1, но дано их произведение (выручка/товарооборот отчётного периода) и индивидуальные индексы цен ip=p1/p0, а сводный индекс должен быть исчислен с отчётными весами, применяется средний гармонический индекс цен. Ip=∑p1q1/∑p0q1, ip=p1/p0=> p0=P1/ip, тогда

Ip=∑p1q1 / ∑(p1q1/ip)

Аналогично рассчитывается индекс средней себестоимости = Iz =∑z1q1 / ∑(z1q1/iz)

Средний арифметический индекс физического объёма исчисляется в тех случаях, когда неизвестны отдельные значений p0, q0, p1, q1, но дано произведение p0q0 (товарооборот базисного) и индивидуальные индексы физического объёма iq.

Iq=∑q1p0 / ∑q0p0=∑(iq*q0*p0) / ∑q0p0

Средний арифметический индекс производительности труда определяется аналогично.

Iw=∑it*t1q1 / ∑t1q1