Показатели вариации. Среднее линейное отклонение определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней без учёта знака этих отклонений.

Различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности, в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под влиянием разнообразных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризует показатели вариации, которые могут быть абсолютными и относительными величинами. Наиболее простой показатель – размах вариации – разность между наибольшим и наименьшим значением признака.

R=Xmax-Xmin

Среднее линейное отклонение определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней без учёта знака этих отклонений.

d = ∑ |Xi- X | / n X = ∑x / n - невзвешенное

d = ∑ |X – X | f / ∑ f X =∑xf / ∑f – взвешенное (если разбиты по неединичным группам)

Дисперсия – средний квадрат отклонений, определяемый как среднее из отклонений, возведённых в квадрат.

δ^2= ∑ (Xi – X) ^2 / n - невзвешенное

δ^2=∑ (Xi – X)^2 fi / E fi

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение

δ= (∑ (Xi – X) ^2 / n)^1/2

δ= (∑ (Xi – X)^2 fi / E fi)^1/2

Среднее квадратическое отклонение является мерой надёжности средней, чем меньше его величина, тем меньше разброс значений признака вокруг средней, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность.

На практике среднее квадратическое отклонение (СКО) всегда больше среднего линейного отклонения.

Для распределений близ к нормальному, или симметричному

δ ~~ 1,25 d

d ~ 0,85

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчёты:

1. Если из всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится

δ^2_(Хi-A)=δ^2

2. Если все значение вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшиться от этого в А^2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз

δ^2(xi/A) = δ^2/А^2

3. δ^2= X^2 – (X) ^2 – способ моментов

Размах вариации, среднелинейное и СКО являются величинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака. Для того чтобы показать, как изменяется признак в совокупности нужно найти верхний (Х + δ) и нижний (X – δ) предел средней и представить данные в диапазоне Xср-δ =<Xср=<Xср + δ

Наиболее распространённым показателем относительной колеблемости является коэффициент вариации, который рассчитывается V= δ / Хср * 100%.

Если коэффициент вариации превышает 33%, то совокупность считается неоднородной и распределение признака - несимметричным.

Ряды динамики.

Ряды динамики в статистике – это ряды показателей, которые характеризуют развитие явления во времени.

Ряд динамики состоит из двух элементов:

1. Момент (период) времени

2. Статистические данные, характеризующие изучаемый объект и называются уровнями ряда.

Ряды динамики абсолютных величин могут быть интервальными или моментными рядами динамики.

Интервальные ряды – ряды показателей, в которых величина интервала показывает накопленный итог учёта результатов деятельности, за определённый период. Интервалами могут быть год/квартал/месяц/день/декада.

Месяц
Выпуск продукции, млн руб

Отличительной особенностью интервальных рядов динамики абсолютных величин является возможность суммирования их уровней. Суммирование позволяет образовать новый ряд динамики с укрупнёнными промежутками времени (I квартал 160млн, II – 162)

В результате суммирования получаем так называемые накопленные итоги, которые имеют реальное содержание. Величина уровня интервального ряда связана с величиной промежутка времени, чем больше этот промежуток – тем больше абсолютное значение абсолютной величины ряда динамики.

Моментные ряды – ряды, характеризующие состояние явления на определённую дату или момент времени. В моментных рядах тоже имеются интервалы, отделяющие даты друг от друга. Интервалы могут быть различными, чем большим изменениям подвержено явление – тем короче должны быть интервалы между датами моментов в рядах.

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06
Задолженность по кредитам, тыс. руб.

Ни одним из свойств интервальных рядов не обладают моментные ряды. Сумма уровней моментного ряда не имеет никакого реального содержания, и накопленные итоги для этих рядов не рассчитываются. Абсолютное значение цифр не зависит от величины интервала ряда. Отличительной особенностью моментных рядов является то, что каждый последующий показатель включает в себя полностью или частично предыдущий показатель.