Сформулируем основной принцип проверки статистических гипотез

Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область – гипотеза отвергается. Если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотеза принимается.

Пусть критерий K – одномерная случайная величина. Тогда все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Естественно, что критическая область и область принятия гипотезы тоже будут интервалами. Следовательно, имеются точки, которые разделяют эти области. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими, и обозначают . Различают односторонние и двусторонние критические области. Среди односторонних областей обычно выделяют правосторонние и левосторонние. Правосторонней называют критическую область, которая определяется неравенством

,

где – положительное число. В свою очередь, левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

,

где – отрицательное число. Двусторонней называют критическую область, которая определяется неравенствами

,

где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двустороннюю критическую область (при ) можно определить неравенствами

,

или равносильным неравенством

Изложим простейшие методы нахождения критических областей. Для определенности рассмотрим правостороннюю критическую область. Для нахождения критической точки задают достаточно малый уровень значимости . А саму критическую точку определяют из условия

.

Для известных критериев имеются таблицы, по которым находят соответствующую критическую точку. После нахождения критической точки, по данным конкретных выборок рассчитывают наблюдаемое значение критерия . Если окажется, что , то нулевую гипотезу отвергают. В противном же случае говорят, что нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Замечание 7. 1. Наблюдаемое значение критерия может оказаться больше, чем не только лишь потому, что нулевая гипотеза ложна. Среди других причин следующие: малый объем выборки, условия эксперимента имеют недостатки, неудачно выбран статистический критерий и т.д. Т.о. нулевая гипотеза может быть и правильной. Отвергая ее, мы с вероятностью совершаем ошибку первого рода. В книгах по контролю качества продукции вероятность признать негодной партию годных изделий называют «риском производителя», а вероятность принять негодную партию – «риском потребителя».

Замечание 7. 2. Ошибочно думать о том, что если нулевая гипотеза принята, то тем самым она доказана. Частный пример, подтвердивший справедливость общего утверждения, еще не доказывает его. Поэтому говорить о принятии нулевой гипотезы нужно достаточно сдержано. Слова могут быть такими: «данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и не дают оснований ее отвергать». На практике для большей достоверности гипотезу проверяют другими методами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки. Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, если удается привести пример, противоречащей некоторому общему утверждению, то само утверждение признается ложным.

Нахождение левосторонней и двусторонней критических областей тоже сводится к определению критических точек. Критическая точка для левосторонней критической области определяется из условия

.

Для определения двусторонней критической области следует найти две критические точки и , причем . Эти точки должны удовлетворять условию

.

Ясно, что критические точки и могут быть выбраны бесчисленным числом способов. Если же имеются основания выбрать симметричные относительно нуля критические точки - и , то иметь место равенство

.

Следовательно, мы можем записать соотношение

,

которое и служит для нахождения критических точек двусторонней критической области.

Определение 7.8. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Иными словами, мощность критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза. Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости и выработка имеет фиксированный объем п. Возможность варьировать остается лишь в выборе критической области. Покажем, что ее целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Если через обозначить вероятность ошибки второго рода (т.е. события «принята нулевая гипотеза при справедливости конкуренции»), то мощность критерия будет равна . При возрастании мощность критерия уменьшается вероятность совершить ошибку второго рода. Следовательно, если уровень значимости уже выбран, то критическую область нужно строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования будет обеспечивать минимальную ошибку второго рода.

Замечание 7. 3. Понятно, что чем меньше вероятности ошибок первого и второго рода, тем лучше для исследователя. Однако при заданном объеме выборки невозможно одновременно уменьшить и , т.к. при снижении вероятность будет возрастать. Например, если положить , то будут приниматься все гипотезы (как правильные, так и не правильные), что, естественно, приведет к росту вероятности ошибки второго рода . Как же наиболее целесообразно выбрать ? Исследователю нужно учитывать «тяжесть последствий» своего решения для каждого конкретного случая.

В свое время Дж. фон Нейман и К. Пирсон доказали лемму. Согласно ей при фиксированном уровне значимости можно построить критическую область, для которой мощность критерия будет максимальной. Этот результат называют леммой Неймана-Пирсона (см., например, [2, ч. 2, гл.3,пар.2]).

Замечание 7. 4. Единственный способ одновременного уменьшения вероятности ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборок.