Вводные понятия о статистических гипотезах и их проверке

Определение 7.1. Статистическая гипотеза – это гипотеза о типе неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например, гипотезы:

1). генеральная совокупность распределена по показательному закону; 2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны, являются статистическими.

Гипотеза: «Я смогу доказать Великую теорему Ферма», не будет статистической.

Определение 7.2 Выдвинутую гипотезу принято называть нулевой или основной. Противоречащую ей гипотезу называют конкурирующей ил альтернативной.

Если гипотеза содержит ровно одно предположение, то ее называют простой. К примеру, гипотеза : параметр закона распределения Пуассона – простая. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза

состоящих из бесконечного числа простых гипотез

.

Гипотеза : математическое ожидание нормального распределения равна 5 (параметр неизвестен) – сложная. В то же время, эта гипотеза при известном параметре является простой.

Определение 7.3. Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней делаются предположения относительно области изменения неизвестного параметра (или нескольких параметров) для заданных параметрических семейств функций распределения.

Примеры параметрических гипотез:

1) дисперсии двух нормальных совокупностей равны;

2) параметр закона распределения Пуассона ;

3) математическое ожидание нормального распределения равно 5 (параметр неизвестен);

4) вероятность успеха в схеме Бернулли заключена между 0,3 и 0,6 и т.д.

Примерами непараметрических гипотез служат высказывания:

1) генеральная совокупность распределена по показательному закону; 2) теоретическая функция распределения генеральной совокупности является нормальной; 3) теоретическая функция распределения не является нормальной; 4) функция распределения генеральной совокупности имеет положительное математическое ожидание и т.д.

Естественно, что выдвигаемые гипотезы нуждаются в проверке. В силу того, что методы проверки – статистические, то речь идет о статистической проверке гипотез. При проверке возможны ошибки.

Определение 7.4 Ошибка первого рода состоит в том, что правильная гипотеза будет отвергнута.

Определение 7.5 Ошибка второго рода состоит в том, что неправильная гипотеза будет принята.

Например, если отвергнуто правильное решение «к зданию факультета можно сделать пристройку», то эта ошибка первого рода и она, по-видимому, приведет только к материальному ущербу. Если же будет принято неправильное решение «продолжать строительство», то возможно, что здание рухнет. Т.е. кроме материального ущерба такая ошибка может привести к гибели людей. Можно привести пример, когда ошибка первого рода имеет более тяжелые последствия, нежели ошибка второго рода.

Правильное решение тоже может быть принято в двух случаях:

1) принята гипотеза, которая является верной; 2) отвергнута гипотеза, которая и в действительности является неверной.

Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают через . В качестве уровня значимости рассматривают небольшие вероятности: 0,05; 0,01 и т.д.

Для проверки нулевых гипотез используют специально подобранные случайные величины, точное или приближенное распределение которых известно. Среди них: нормально распределенная случайная величина; случайная величина , распределенная по закону Фишера-Снедекора; случайная величина Т, распределенная по закону Стьюдента; случайная величина и др. Вообще,

Определение 7.6 Статистическим критерием называют случайную величину K, с помощью которой проверяют нулевую гипотезу.

Например, если проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K, рассматривают случайную величину

,

где – исправленные выборочные дисперсии. Эта случайная величина распределена по закону Фишера - Снедекора и для нее имеются статистические таблицы. Для проверки гипотезы по данным конкретных выборок вычисляют наблюдаемое значение критерия . Например, если по данным двух выборок рассчитаны несмешные оценки дисперсий

,

то наблюдаемое значение критерия F равно

После того, как выбран конкретный критерий, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающиеся подмножества. Критической областью называют множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Определение 7.7. Областью принятия гипотезы называют множество значений критерия, при которых гипотезу принимают.