Методы принятия решений в условиях априорной неопределенности

Если априорная информация неизвестна или ненадёжна, то применяются другие критерии.

Критерий Вальда ( W ): это максиминный критерий, т. е. выбирается стратегия Ak, для которой

При таком критерии мы подходим к этой задаче, рассчитывая на самый худший случай, как и в игре с разумным противником.

Критерий Сэвиджа (S): это критерий минимаксного риска

Этот критерий не эквивалентен критерию Вальда, т. е. cтратегия, оптимальная по Сэвиджу не обязательно так же будет оптимальна по Вальду.

Критерий Гурвица (H): это комбинированный критерий, его так же называют критерием пессимизма-оптимизма

где 0 <κ <1 - коэффициент, который выполняет требования критерия быть более или менее оптимистичным. При k =1 критерий H=W, а при k =0 получаем крайний оптимизм.

Существуют другие критерии и однозначный выбор одного критерия невозможен. Но если одну и ту же ситуацию рассматривать по разным критериям и получаются одинаковые решения, то это говорит об устойчивости данной ситуации и однозначности найденного оптимального решения. В противном случае ситуация неустойчивая и необходимо либо изучать априорную информацию, либо доказывать верность лишь одного из критериев.

Планирование эксперимента при принятии решений

Если априорной информации нет или она ненадёжна, то можно путём проведения эксперимента получить более надёжные данные о вероятностях Qj. Под экспериментом понимают систему мероприятий позволяющих уточнить информацию о состоянии «природы». Например, это метеонаблюдения, маркетинговые исследования в экономике, радиолокация, военная или промышленная разведка и т.д. Насколько может помочь в принятии решения эксперимент и как сопоставить стоимость эксперимента с тем оптимальным выигрышем, который мы получим?

Соответствующую теорию можно построить исходя из знания вероятностей Qj, а так же на основе критериев при неизвестной априорной информации. Мы рассмотрим случай, когда есть априорная информация, т. е. ситуацию идеального наблюдателя. Рассмотрим вопрос: есть ли смысл проводить эксперимент? Рассмотрим два случая.

1) Идеальный эксперимент. Результат этого эксперимента однозначно определяет каковы условия природы. Пусть заданы выигрыши aij и априорные вероятности Qj. Стоимость эксперимента с сопоставима с выигрышем aij, т. е. эти величины имеют одинаковую размерность. Сравним средний выигрыш без проведения эксперимента со средним выигрышем при проведении эксперимента:

Если нет эксперимента, мы обеспечим себе

Если мы проведём эксперимент, то мы точно узнаем Pj = Pk, и тогда найдя в k -м столбце максимальный выигрыш, мы найдём наш выигрыш

Но нам нужно оценить эффективность эксперимента до его проведения, поэтому мы должны ориентироваться на средний ожидаемый выигрыш, который мы получим, если будем проводить эксперимент. Таким образом, перед проведением эксперимента мы можем ожидать выигрыш

Поэтому чтобы решить, проводить эксперимент или нет, надо определить, что больше: a max или

Получается, что необходимо проводить эксперимент, если

Преобразовав это неравенство, получим, что идеальный эксперимент проводить нужно, если его стоимость меньше минимального среднего риска

2) Неидеальный эксперимент. В результате проведения неидеального эксперимента мы не находим однозначно Pj, а лишь изменяем вероятности Qj. Пусть проводится неидеальный эксперимент. В результате появляются некоторые несовместные события B1,B2,…BL. Вероятности этих событий зависят от условий, в которых они проводятся. Пусть известны P (Bj / Pj). Эти вероятности называются прямыми. После эксперимента, давшего исход Bl необходимо пересмотреть вероятности Qj, т. е. вместо вероятности Qj мы перейдём к вероятности Qjl. Это так называемые апостериорные вероятности

Это формула Байеса.

Но результаты эксперимента могут быть и B 1 и B 2 и Bk, поэтому мы можем только ожидать всякие исходы Bl, которые получатся в результате эксперимента. Причём, каждый исход Bl привёл бы к некоторым оптимальным стратегиям A* 1. А величина выигрыша, которая бы при этом получилась:

Эти выигрыши al, могут произойти с вероятностью события Bl, т. е. c вероятностью. P (Bl), которую можно получить по формуле полной вероятности:

Тогда средний ожидаемый выигрыш будет:

Планирование экспериментов можно рассмотреть и для случаев, когда проводят 2, 3, 4, … эксперимента [8].