Моделирование детерминированных и стохастических процессов

Математические модели связывают входные (независимые) переменные процесса X(x₁,x₂,...,x_n), называемые воздействиями, с выходными (зависимыми) характеристиками Y(y₁,y₂,...y_m) (рис. 3.1), которые обычно именуют откликами, в виде уравнения связи

Y=f(X) (3.1)

Любому реальному процессу свойственны случайные колебания, вызываемые физической изменчивостью каких-либо факторов x_i±Dx_i(t) или внешними случайными воздействиями. В силу этого при равном среднем значении входных характеристик X(t) в моменты t₁ и t₂ выходные параметры Y(t), будут неодинаковыми (рис.3.2). Поэтому для вероятностных процессов, где по сравнению с x_i(t) нельзя пренебречь случайными колебаниями Dx_i(t) и случайными внешними воздействиями x_j(t), необходимо характеризовать систему с учетом статистического закона распределения мгновенных значений Y(t) относительно средней величины Y_ср(t) уравнением

(3.2)

Модели, отображающие случайный (стохастический) характер параметров и факторов системы, называются статистическими или стохастическими в отличие от детерминированных, не учитывающих вероятностных характеристик процессов.

По мере уменьшения величины параметров DX и x уравнение (3.2) приближается по структуре к уравнению (1.1), описывающему детерминированные системы.

Обычно детерминированные модели (3.1), представляющие собой систему уравнений, удается составить только в тех случаях, когда о процессах в описываемой системе имеются ясные физические представления и эти представления можно формализировать. В таких случаях говорят, что система представляет собой «белый ящик» - объект с известной структурой и функциями.

Однако получаемая таким образом модель может оказаться громоздкой, а ее информационное обеспечение весьма трудоемким. Поэтому часто используют статистические модели для описания детерминированных систем. В таких случаях рассматривают систему как «черный ящик» с неизвестной структурой, в котором доступны для изучения только контролируемые входные параметры X и измеримые выходные характеристики Y. Получив таблицу соответствий { x₁,y₁; x₂,y₂;…; x_n,y_n }, принимают их за случайную выборку из генеральной статистической совокупности { X,Y } и описывают соотношением (3.2). Полученная статистическая модель при соответствующей интерпретации результатов позволяет раскрыть механизм, сделать «белыми» некоторые части устройства и функционирования «черного ящика».

Детерминированные модели (3.1), могут также использоваться для описания стохастических систем, если объектом изучения являются их усредненные характеристики. Таким образом, статистические модели являются более широким классом моделей и включают детерминированные модели как предельный частный случай, в котором выходные параметры Y однозначно определяются входными переменными X.

Соотношения (3.1) и (3.2) являются математическими моделями процессов, приближенно описывающими происходящие в системе изменения. Если доказано подобие натурных и моделирующих процессов, то можно говорить об адекватности моделей.

В зависимости от характера и пространственной структуры описываемых систем различаются модели с распределенными и сосредоточенными параметрами. В связи с различной интенсивностью моделируемых процессов во времени различают: статические модели, описывающие установившиеся процессы вблизи состояния равновесия; стационарные модели, характеризуемые постоянством основных параметров во времени; динамические модели систем, в которых входной переменной процесса является время.

В зависимости от конкретного вида применяемого математического аппарата, различают модели матричные, сетевые, дифференциальные, интегральные, алгоритмические, программные и др.

Лекция №4