Методика изучения темы «Представление информации»

Изучаемые вопросы:

1. Позиционные и непозиционные системы счисле­ния.

2. Основные понятия позиционных систем: основа­ние алфавит.

3. Развернутая форма представления чисел в позици­онных системах.

4. Перевод чисел из одной системы в другую.

5. Особенности двоичной арифметики.

6. Связь между двоичной и шестнадцатеричной сис­темами.

Необходимость изучения темы в курсе информа­тики связана с тем, что числа в памяти компь­ютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, ад­ресов памяти используют шестнадцатеричную или во­сьмеричную системы. Ученики 7 или 8 класса, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифра­ми. Они привыкли видеть римские цифры в обозначе­нии глав в книге, в указании столетий (XX век) и в не­которых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. С методической точки зрения бывает очень эффек­тивным прием, когда учитель подводит учеников к са­мостоятельному, открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подо­шли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципами записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера: на доске изображаются следующие числа XXX и 333. Из сравнения записи чисел следуют правила: в римском способе за­писи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение зависит не только от того, какая это циф­ра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообща­ет, что римский способ записи чисел называется непо­зиционным, а арабский — позиционным. После этого можно ввести термин «система счисле­ния»: Система счисления — это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления, а арабский — это позиционная система счисления.

Следует подчеркнуть связь между способом записи чисел и приемами арифметических вычислений в соот­ветствующей системе счисления. Следует предложить учени­кам выполнить умножение, например, числа сто три­дцать четыре на семьдесят шесть, используя римскую и арабскую системы счислений. С арабскими числами они легко справятся, а также смогут убедиться, что римские цифры — не помощники в вычислениях.

Необходимо дать понять ученикам, что позици­онных систем счисления существует множество, и отли­чаются они друг от друга алфавитом — множеством ис­пользуемых цифр. Размер алфавита (число цифр) назы­вается основанием системы счисления. Следует задать вопрос: «Почему арабская система называется десятичной сис­темой счисления?» Делается вывод: основание араб­ской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позицион­ных систем счисления. В системах с основаниями, не большими 10 используются только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступа­ют также латинские буквы в алфавитном порядке (шестнадцатеричная система).

Нужно научить учеников записывать натура­льный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11... 19 20... 99 100 101... По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверич­ной системе (с основанием 4): 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101 102 103 110 111...

Аналогично и для других систем. Наибольший ин­терес представляет натуральный ряд двоичных чисел: 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 и так далее. Следует обратить внимание учеников на быстрый рост количества цифр в числе. Для указания на основание системы, к которой от­носится число, вводим индексное обозначение. Еще одно важное замечание: ни в коем случае нель­зя называть недесятичные числа так же, как десяти­чные. Например, нельзя называть восьмеричное число 36₈ как тридцать шесть! Надо говорить: «Три—шесть». Или, нельзя читать 101₂ как «сто один». Надо говорить «один—ноль—один».

Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой записи числа. Для объяснения привлекают десятеричную систему.

5312,5=5000+300+10+2+0,5 5312.5=5x10³+3x10²+1x10¹+2x10⁰+5x10^-1.

Аналогично можно получить развернутую схему чисел в других системах счисления.

Объяснение способов перевода следует начать с пере­вода в десятичную систему чисел из других систем счис­ления. Делается это просто: нужно перейти к записи раз­вернутой формы числа в десятичной системе. Вот пример такого перехода для приведенного выше восьмеричного числа:

1753₈ = (1х10³ + 7х10² +5х10¹ + 3)₈ = (1х8³ + 7 х8²+ 5х8¹ + 3)₁₀.

Теперь нужно вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики и получить окон­чательный результат:

1753₈ = (512 + 448 + 40 + 3) ₁₀ = 1003₁₀.

Чаще всего развернутую форму числа сразу запи­сывают в десятичной системе:

101101,1₂=(1х2⁵+0х2⁴+1х2³+1х2²+0х2¹+1+1x2^-1 )₁₀ =32+8+4+1+0,5=45,5₁₀.

Для вычисления значения числа по его разверну­той форме записи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что развернутая запись числа преобразу­ется в эквивалентную форму с вложенными скобка­ми. Например, для рассмотренного выше восьмерично­го числа это выглядит так:

1753₈ =(1х 8³+7х8²+5х8¹+3)₁₀ =((1х8+7)х8+5)х8+3

Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах:

двоичная нумерация; двоичная арифметика, то есть выполне­ние арифметических вычислений над двоичными чис­лами. Для выполнения арифметических операций над двоичными числами необходимо пользоваться следующими правилами:

0+0=0 0x0=0 0-0=0

1+0=1 1x0=0 1-0=1

1+1=10 1x1=1 10-1=1

Решаются простейшие задачи на сложение и вычитание, а также умножение двоичных однозначных и многозначных чисел. Представление информации, хранящейся в компь­ютерной памяти, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Для этих целей принято использовать вось­меричную или шестнадцатеричную системы счисле­ния. Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлениями числа. При переводе числа из одной системы в другую одной шестнадца­теричной цифре соответствует четырехразрядный двоич­ный код. Такая связь основана на том, что 16 = 2⁴, и число различных 4-хразрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится путем формальной перекодировки. При­нято считать, что если дано шестнадцатеричное пред­ставление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу.