Математические модели

ВВЕДЕНИЕ.

Настоящее учебное пособие составлено в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов подготовки магистров по направлениям «Менеджмент», «Экономика», «Торговое дело», «Управление качеством», изучающим экономико-математические методы. Отличительной особенностью пособия является то, что в нем изложены не только математические модели конкретных экономических и финансовых задач, но и возможность реализовать некоторые методы оптимизации с помощью табличного процессора Microsoft Excel. В пособии подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначениях, задачи целочисленного, нелинейного программирования) с помощью надстройки Excel Поиск решения. Примеры решения задач включают фрагменты или полный текст рабочего документа Excel, снабженный комментариями и краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи на компьютере.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.

Пусть Е - величина, количественно измеряющая степень достижения цели системы (операции); коэффициенты А = (а₁, а₂, …,а_k) - неуправляемые параметры (неизменные константы, например производительность, нормы расхода материалов и т. п. ); Х = (х₁, х₂, …, х_n) - управляемые параметры (переменные), которые в данной конкретной системе (операции) можно менять.

Суть математического моделирования - это установление количественных связей между величинами E, А и Х в виде так называемой операционной модели.

Первая часть операционной модели - это модель целевой функции, она устанавливает функциональную зависимость критерия E от неуправляемых параметров A и управляемых величин X в виде Е = f(Х, А); f может быть функцией, заданной аналитически, таблично или алгоритмом. Для целевой функции указывается направление улучшения критерия:

Е = f (X, A) → min (max).

Вторая часть операционной модели ¾ математическое описание ограничений на выбор переменных Х.

_i (X, A) £ 0, i =

Указанная модель позволяет поставить задачу оптимизации системы (операции) как математическую: найти такие управляемые переменные Х, которые удовлетворяли бы системе ограничений и обеспечивали бы наилучшее значение критерия Е.

Решение поставленной математической задачи требует привлечения методов оптимизации. Реальные задачи приводят к большой размерности. Поэтому современные методы нахождения оптимальных решений ориентированы на использование компьютерных средств.

Математическая модель может быть удачной для получения практических решений или не очень. Именно поэтому знаменитый операционист Томас Саати иронично определил науку «Исследование операций» как «искусство давать плохие советы в тех практических случаях, в которых другие науки ничего не могут посоветовать».

Исследование операций (ИСО) - это наука о количественном обосновании оптимальных решений на основе построения и использования математической модели.

Математическое моделирование - самый сложный этап ИСО. Не существует какого-либо алгоритма, по которому создаются модели. В настоящее время существует большое количество типовых моделей, описывающих наиболее распространенные виды операций и систем:

¾ модель линейного программирования (ЛП);

¾ модель динамического программирования;

¾ игровые модели;

¾ модели массового обслуживания;

¾ модель систем управления запасами и многие другие.

Если в операционной модели

Е = f (X, A) ® min (max).

j _i (X, A)£0, i =

все неуправляемые переменные A - заранее точно известные величины, а f - детерминированная функция, то такая модель называется детерминированной.

Среди неуправляемых переменных могут быть такие Z = (z ₁, z ₂, …, z _i), которые неизвестны. В этом случае E меняется не только с изменением X, но и Z.

Е = f (X, A, Z).

Задача на нахождение оптимального значения E становится некорректной. Если известны вероятностные распределения Z, то такую модель называют стохастической (моделью в условиях риска). Для получения оптимального решения в этом случае используют критерий, который не зависит от Z, например, среднее значение М (Е) и получают решение, оптимальное «в среднем». Когда функция f меняется от Z линейно или незначительно, можно искусственно свести задачу к детерминированной, заменив Z на M (Z), так как в этом случае M(E)=f (X, A, M (Z) ). В общем случае

,

где функция G – плотность распределения вероятности величины Z.

Если же статистика Z принципиально неизвестна, то это задача принятия решений в условиях неопределенности. Для получения оптимального решения в этом случае обычно применяют принцип гарантированного результата (максимина), который обеспечивает максимум Е при наихудших условиях Z. То есть .

Пример математического моделирования операции. (Задача о покупке краски)

Для демонстрации существа операционного подхода рассмотрим простой пример.

Описание задачи: Для окраски помещения необходимо купить 15 кг краски. Ее можно купить в банках двух типов: по 1,5 кг стоимостью 10 руб. каждая или в банках весом 0,9 кг стоимостью 8,5 руб. каждая. Для перевозки используется ящик, в который может уместиться 8 банок первого типа или 25 банок второго типа.

Необходимо дать математическую формулировку задачи минимизации стоимости покупки. Найти, сколько банок каждого типа надо купить. Сравнить с решением, которое получится, если банка краски первого типа будет стоить 17 руб.

Решение. Обозначим х₁ - количество банок первого типа, х₂ - количество банок второго типа. Так как количество купленной краски не должно быть меньше 15 кг, то 1,5 х₁ + 0,9 х₂ 15. Каждая банка первого типа занимает 1/8 объема ящика, а второго 1/25, поэтому ограничение на объем ящика можно выразить следующим образом:

х₁ + х₂ 1.

Стоимость покупки обозначим Е: Е = 10х₁ + 8,5х₂ .

Получаем задачу линейного программирования (ЛП):

Если банки вскрывать нельзя, то необходимо добавить ограничения:

х₁ и х₂ - целые.

Если количество переменных в задачах ЛП и ЛЦП (линейное целочисленное программирование) большое, то их необходимо решать с использованием специальных алгоритмов и компьютерных программ. В данном случае - две переменные, значит, можно использовать простой геометрический метод.

A

B

x 1

x 2

Область допустимых решений

Целочисленное оптимальное решение

E = 170

Оптимальное решение

Видно, что точка А является оптимальной для случая, когда банки можно вскрывать (х₁ и х₂ могут быть нецелыми), а точка В оптимальна для целого решения.

Найдем координаты точки А, решив совместно уравнения:

Получим х₁^* 5,7; х₂^* 7,1; Е = 117,35.

Для нахождения х₁ и х₂, которые должны быть целыми (банки вскрывать нельзя) «округленное» решение х₁^* = 6; х₂^*= 7 не допустимо.

В этом случае оптимальное решение то, которое является последним при перемещении прямой Е по направлению вектора. Находим его из целых допустимых. Это точка В с координатами х₁ = 4; х₂ = 10; Е = 125.

Если стоимость банки краски первого типа повыситься до 17 руб., то целевая функция будет Е = 17x₁+8,5x₂ .

Очевидно, что целое оптимальной решение будет х₁ = 0; х₂ = 17; Е^*=144,5.

Ответ:

1. Если банки можно вскрывать, то необходимо взять 5,7 банки первого типа; 7,1 банки второго типа, стоимость покупки 117,35 рублей.

2. Если банки вскрывать нельзя, то необходимо взять 4 банки первого типа; 10 банок второго типа, стоимость покупки 125 рублей.

3. Если стоимость банки первого типа станет 17 рублей, то оптимальное решение изменится: х₁ = 0; х₂ = 17; Е ^*=144,5.