Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое вещественное число, что . Число называется при этом собственным числом, или собственным значением оператора . Собственный вектор называется в этом случае собственным вектором, принадлежащим собственному числу .

Утверждение Один и тот же собственный вектор не может принадлежать одновременно двум разным собственным числам.

Док-во. Пусть , но . Тогда , откуда, так как , в противоречии с допущением.

Уравнение называется характеристическим уравнением оператора , а его корни - характеристическими числами данного оператора.

В общем же случае для того, чтобы найти собственные числа и собственные векторы данного линейного оператора, следует поступать так:

1) составить и решить характеристическое уравнение, выбрав произвольный базис

2) для каждого вещественного корня характеристического уравнения решить однородную систему