Вещественное евклидово пространство

Вещественное линейное пространство

называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая любой паре векторов вещественное число, называемое скалярным произведением на и обозначаемое , так, что выполняются следующие тождества:

(коммутативность) (дистрибутивность)

(для любого вещественного );

, причем только тогда, когда .

Докажем некоторые следствия из определения евклидова пространства.

1)

Действительно, .

2)

Имеем:

Неравенство Коши-Буняковского:

Вычислим для произвольного вещественного следующее произведение:

Рассматривая последнее выражение как утверждение о неотрицательности квадратного трехчлена от , получим, что дискриминант неположителен:

В евклидовом пространстве введем понятие нормы вектора , обозначаемой . По определению

С использованием нормы неравенство

Коши-Буняковского перепишется так:

Норма вектора обладает также следующими

свойствами:

1) , причем равенство имеет место только для нулевого вектора.

2)

3) (неравенство треуг-ника)