Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода заключается в следующем: Пусть известна запись числа x в системе счисления с каким-либо основанием P:

,

где p_i – цифры P -ичной системы . Требуется найти запись этого числа x в системе счисления с основанием Q:

,

где q_i – искомые цифры Q -ичной системы .

Для перевода любого числа достаточно отдельно перевести его целую и дробную части.

Перевод целых чисел.

Представим число x в Q -ичной системе в виде полинома

(1)

Для определения в поставленной задаче разделим обе части равенства (1) на Q, причем в левой части произведем фактическое деление, поскольку запись числа x в P -ичной системе нам известна, а в правой части деление выполним аналитически:

. (2)

Таким образом, младший коэффициент в разложении (1) является остатком от деления x на Q. Число является целым, и к нему тоже можно применить описанную процедуру:

, (3)

а – остаток от деления (3).

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получено x_s+1 =0. Для записи числа x в Q -ичной системе счисления запишем каждый из полученных коэффициентов одной Q -ичной цифрой.

Пример 1: Перевести число 47₁₀ в двоичную систему счисления (Q = 2).

Искомое число 47₁₀ = 101111₂.

Пример 2: Перевести число 3060₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Q = 16).

Таким образом, =4₁₀ = 4₁₆, =15₁₀ = F₁₆, =11₁₀ = B₁₆. Искомое число
3060₁₀ = BF4₁₆.

Перевод дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q -ичную систему правильную дробь x (0< x <1), заданную в P -ичной системе счисления.

Поскольку x <1, то в Q -ичной системе запись числа x будет иметь вид

(4)

Умножив обе части выражения (4) на Q, получим

,

где является целой частью, а – правильная дробь. Искомые коэффициенты могут быть определены по формуле

,

где [ ] – целая часть. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено , либо не будет достигнута требуемая точность числа.

Пример 3: Перевести число 0,25₁₀ в двоичную систему счисления

Искомое число x = 0,25₁₀ = 0,01₂.