Геометрия Лобачевского. Сумма углов треугол

Сущ 3 класса метрических геометрий

1. Евклидова геометрия

2. Сферическая геометрия(в другом варианте эллиптич геом Римана)

3. Неевклидова геометрия Лобачевского.

Евклидова геом (Начала Евклида 3001 до н.э) Позднее было описание сфер геом. Исследование 5 постулата на основании аксиом Евклида. На ходе эти док-ва содержали ошибки, тем не менее они фактически способствовали открытию некоторых фак-в неевкл геом лобачевского.

Практически все крупнейшие мат-ки средних веков и нового времени занимались док-вом 5 постулата, имели след причину:неверно исп утверждения как бы очевидное но эквиволентное постулату

Примеры. Утвержд экв 5 постулату.

1) Если 2 прямые на пл-ти не пересек, то расстояние от точки одной прямой до второй(длины периода) постоянна или ограничены в совркупности. Рис

1. l₁∩l=пустому мн-ву. А₁А перпендикулярно l ро(А₁А)=|А₁А|=ро(А₁l)

1.1 p(А1,l)=const; |p(А₁l)|<k для любых А₁

2) Сумма углов в треугол (любого) равна 180.

Док-во. Аксиома паралельности(через В сущ l₁||l)=> в треугол АВС сумма углов=180 или пи.

l₁∩l=пустому множеству.

Из единственности паралел прямых => l^/=l^//, следов α+β+γ=180 как развернутый угол сумма углов в треуг АВС

3)Рис. Сумма углов в треугол постоянная=>сумма углов =180.

Система: Ԑ₁+Ԑ₂=п

f₁+f₂=п по предположению α+β+γ=α+Ԑ₁+f₁ (**)

Сумма EFBC: β+γ+ Ԑ₂+ Ԑ₁+ f₂ (***)

И з (*)=> Ԑ₁+Ԑ₂₊ f₁+f₂=2п

(**)=>β+γ+ Ԑ₂+f₂=2п

4) Рис. Сущ прямоугол и квадраты 4-х угольники Ламберта

Угол А=углу В=углу С=п/2; δ=углу Д=1

1.δ<=п/2(δ>=п/2 не может быть.

2.δ=п/2 евклидова геометрия

3.δ<п/2

Гипотеза острого угла. Предпологая, что выполняется гипотеза он предпологал найти противоречие. Он заметил, что между фор-ми неевкл геом и фор-ми сферич геом есть сходство.Он предпологал, что это геом выпол на какой-то мнимой сфере.

5) Площади треугольников неограничены в совокупности т.е сущ треугольники неограниченно большой площади

Рис. δ₁<δ₂<δ₃. Строго возрастаем мб предел ≠0.

Рис. Кси-аюсолют. Uvt- предельный треугол.

Площадь любого треугол будет < предельного, поэтому ограничены

6) Через любые 3 неколлинеарные точки можно провести окружность(в неевклид геом лобач кроме прямых и окр есть орициклы и эквидистанты)

7) Сущ подобные, но неравные треугол. В неевкл геом имеет место 4-ый признак равенства: если углы треугол соотв равны, то треугол равны. На сфере мы выйдем на сферу др радиуса.

Замечание. Все евкл геом данной размерностиизоморфны (изометричны)

Сферы могут быть произвол радиуса. В неевкл геом сущ пл-ти для любого радиуса

8) Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой в этой же пло-ти паралельно l.

1826 г Лобач сделал доклад о сущ неевкл геом в которой выпол все аксиомы евкл геом за одним источникам:вместо аксиомы паралельности Евклида выпол акс паралельности Лобач:через точку вне прямой в данной пл-ти проходят по крайней мере 2 прямые не пересекающие данную. Рисунок. Из этой акс след, что через точку Апрох бесконечно много прямых пересек данную и сущ 2 положения таких прямых мд которыми все остальные прямые находятся. l₁∩l=пустому множеству. L₂∩l=пустому множеству.

Рис. Отрезок [BD₁] разбив на 2 x₁ᴗx₂=[BD₁]. Если E₁€x₁, то AE₁ пересекает l. Если D₂€x₂, то AD₂ не пересекает l. По св-ву дейст чисел сущ граничная точка F, кот разделяет х₁ и х₂ т.е если берем точку выше F-не пересекает, если ниже-пересекает c l. Покажем. Что F€x_2,,AF пересекает l. Предпол, что AF∩l=F^/_, x₁∩ x₂=пустому мн-ву. Рисунок. F€x₁, AF∩l=пустому мн-ву. F₁(справа от F^/), AF₁^/∩BD₁=F₁, AF₁^/∩BD=F₁, F₁€x₂(т.к F граничная точка,AF₁ перес l => против)

Прямая AF-предельное положение среди всех прямых перес l, симметрично относ AB сущ предельно полож AC. Эти 2 прямые наз паралельными l справа и слева остальные прямые m₁ m₂ не пересек l назыв расходящимися с l.

Рис. α Зависит от x(α=п(х), x=|AB)-|угол паралельности. В Евкл геом геом α=п/2/ α=П(х)=2arctgl ^–x/R гео Лобач где R-радиус кривизны пл-ти лоб; R-большое, то x/R прибл=0, αприбл=п/2.

При больших радиусах кривизны угол паралел-ти не отличен от прямого. Отличие ральной геом от Евкл может выразится в сумме углов треугол. Если оно меньше п, то геом неЕвкл. ЛОбач предпол изменить углы треугол с вершинами наход в звездах.

В конце 20 в было установлено что расшир вселенная в различных постр этого расширения(замедл, пост, ускор) соотв 3 классич геом. Вариант ускорения расширения вселенной соотв гипербол гео Лобач, на небольшом расстоянии различны Евкл.,неевкл геом не могут быть измерены