Элементы геометрии Лобачевского в модели Клейна

1. L-поляра Р

f=S_L –неевклид.симметрия

f(А)= А¹

А А¹ =m

Полюс m и точка Q L(по т.взаимости проект геометрии)à

g=S_m (неевклидова симметрия)

то g(U)=U^! =V

Cледовательно, <AO₁ Uà< AO₁ V, AO₁ m.Следов. g(О)=О^! , по опр.меры углов, если одни перех. В другой, то неевклид.мера угла <AO₁ U и< AO₁ V равны,(они смежные), их сумма равна 180, тогда получается, что каждый из углов прямой.Следов, m перпендик.L

2. U₁P,V₁P-касательные кси. O₁Р-биссектриса неевклидова.

Если О=О₁, то евклидова и неевклидова биссектрисы совпадут,

И преобразуют один угол в другой и учитывая что касательные

переходят в касательные будет следов., что O₁Р-неевкл.биссектриса.

3. Если f=S_L-неевклид.симметрия,

R Cà f(R)= R, f(М)= М^! =N

(из св-в полного 4-х верш. И гомологии)

[MR]à[NR].Следов., неевклид длинны этих отрезков равны,

R-неевклидова середина [MN].

4. Если треуг.АВС в модели Клейна продолжить

Сторону до пересечения с абсолютом и построим

биссектрисы углов А,В, С,тогда из т. Брианшона

следует,что неевклид.биссектриссы пересек

в одной точке

5. АР,ВР,СР перпенд.L.тогда все перпендикуляры к L

пересек.в полюсе Р.Следов, все перпенд между собой расх.

6. L¹||L, m перпендик.L, L¹ должна проходить через

Р и Q,т.е. m включ в PQ(проект прямая). т.к.PQ касат.

к кси, то PQ в пересе с L₂= пустое множество.

Следов., общего перпенд к 2-м параллельным

прямым нет.

7. L¹иL-расход, пересек в точкеР, тогда общий перпенд.m к L¹иL

должен принадлежать RQ.Следов.,он сущ и единств.,m пересек с L₂.

8. 1) если АВ и СD параллельны, то к ним общего перпенд нет.

2) если АВ и СD расход, то общий перпенд к ним только один.Или

АD перпенд. АВ, СД, или ВС перпенд АВ, СД.Следов.,4-ник не

Может быть прямоугольником, т.е. в плоскости Лобачевского

не существует прямоугольников.